1.1.3.1 Images réciproques

Toute application $f:X\to Y$ induit une application $f^{-1}:{\bf 2}^Y\to {\bf 2}^X$(^1.3). Elle est définie par

$$f^{-1}(B)=\big\{x\in X\vert f(x)\in B\big\}$$

On dit que $f^{-1}(B)$ est l'image réciproque de $B\subset Y$ par $f$. Si $f:X\to Y$ et si $g:Y\to Z$ sont des applications, alors leur composée $g\circ f$ est une application de $X$ dans $Z$ et

$$\forall C\subset Z, \ \ ( g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$$ (1.1)

Le lecteur qui rencontre cette égalité pour la première fois devrait la vérifier par lui-même en détail, afin de se familiariser un peu avec la nouvelle notion. Il devrait aussi comprendre pourquoi on peut encore écrire cette relation sous la forme

$$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$$