2.3.3.1 Paramétrages de $M(p,q,r)$

Pour décrire un élément $A$ de $M_\alpha(p,q,r)$, il faut d'abord se donner le mineur $A_\alpha$. C'est un élément arbitraire $u$ de $GL(r,{\rm I\!R})$(^2.4) Il faut ensuite compléter les lignes de $A$ interceptées par le mineur $A_\alpha$. Pour cela, on choisit arbitrairement les $r(q-r)$ composantes de $A$ qui appartiennent à ces lignes sans appartenir au mineur. Nous noterons $v\in{\rm I\!R}^{r(q-r)}$ l'ensemble de ces composantes. Il reste enfin à décrire les lignes restantes de $A$. Chacune est une combinaison linéaire des $r$ premières, dont les coefficients sont univoquement déterminés. A raison de $r$ coefficients par lignes, cela nous fait $r(p-r)$ nombres arbitraires dont l'ensemble est noté $w\in{\rm I\!R}^{r(p-r)}.$ Nous désignerons par $A_\alpha(u,v,w)$ la matrice correspondant à un tel choix.

Proposition 9   L'application

$$\varphi_\alpha:(u,v,w)\in GL(r,{\rm ... ...}^{r(q-r)}\times{\rm I\!R}^{r(p-r)} \mapsto A_\alpha(u,v,w)\in M_\alpha(p,q,r)$$

est un paramétrage de classe $C^\infty$. En particulier, $M(p,q,r)$ est une variété plongée de ${\rm I\!R}^p_q\cong R^{pq}$ et

$$\dim M(p,q,r)=r(p+q-r)$$

Il est clair que $\varphi_\alpha$ est une bijection de classe $C^\infty$. Sa réciproque est continue en vertu de la Proposition 3. En effet, elle consiste d'abord à prendre les $r$ lignes interceptées par le mineur $u=A_\alpha$, en prélever ce mineur puis les autres composantes $v$. Ensuite, il faut calculer les coefficients $w$ permettant d'exprimer les autres lignes. Cela se fait en résolvant des systèmes de Cramer et fournit donc des fonctions rationnelles des coefficients de $A$, définies non seulement dans $M_\alpha(p,q,r)$ mais aussi dans l'ouvert $M_\alpha(p,q)$ de ${\rm I\!R}^p_q$ formé des matrices $M$ pour lesquelles $M_\alpha\neq 0$.

La différentielle $\varphi_{\alpha *(u,v,w)}$ est partout injective. En effet, si

$$\varphi_{\alpha *(u,v,w)}(a,b,c)=0$$

alors $a\in gl(r,{\rm I\!R})$ et $b\in{\rm I\!R}^{r(q-r)}$ sont nuls. Comme les lignes de $\varphi_{\alpha *(u,v,w)}(0,0,c)$ n'interceptant pas $A_\alpha$ sont celles de $A_\alpha(u,v,c)$, il en résulte en outre que $c\in{\rm I\!R}^{r(p-r)}$ est nul également. $\qedsymbol$

Considérons le cas de $M(2,3,1)$ et du mineur occupant la position $(1,1)$. Le paramétrage $\varphi_\alpha$ a pour domaine

$$\big\{(x,y_1,y_2,z)\in{\rm I\!R}^4\vert x\neq 0\big\}$$

et

$$% latex2html id marker 17209\varphi_\alpha: (u,v_1,v_2,w) ... ...egin{array}{ccc} u&v_1&v_2\\ wu&wv_1&wv_2 \end{array}\right)$$

De plus, $\varphi_{\alpha*(u,v_1,v_2,w)}(a,b_1,b_2,c)$ vaut

$$% latex2html id marker 17213\left( \begin{array}{ccc} a&b_... ...( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ cu&cv_1&cv_2 \end{array}\right)$$

L'ensemble $M(2,3,1)$ est une variété plongée dans ${\rm I\!R}^6$ et de dimension $4$.