6.1.6.3 Mesure des aires

La norme $\vert\partial_1\varphi\wedge\cdots\wedge\partial_m\varphi\vert$ du produit vectoriel des $\partial_i\varphi$ est un bon candidat pour jouer le rôle "d'élément de surface" sur $\Sigma$(^6.10). Il généralise en effet à la dimension quelconque $m$ les définitions adoptées en dimensions $1$ et $2$. De plus, il mesure le volume (m-dimensionnel) du paralléllépipède construit sur les $\partial_i\varphi$ et, dans ${\rm I\!R}^m$, l'unité de mesure est précisément la mesure du paralléllépidpède construit sur les vecteurs de la base canonique. Un argument supplémentaire vient du comportement de cette norme sous l'action d'un changement de paramétrage. Si $\psi$ est un paramétrage de $\Sigma$ au voisinage de $a$, il est équivalent à $\varphi$ au voisinage de $a$: $\varphi=\psi\circ\theta$, où $\theta$ est un changement de variables. On a

$$% latex2html id marker 20833\begin{array}{ccl} \partial_1\... ...heta)\partial_1\psi\wedge\cdots\wedge\partial_m\psi \end{array}$$

la dernière somme portant sur les permutations $\nu$ de $1,\ldots,m$. Ainsi

$$\vert\partial_1\varphi\wedge\cdots\wedge\partial_m\varphi\vert=\v... ...(\partial\theta)\vert\vert\partial_1\psi\wedge\cdots\wedge\partial_m\psi\vert.$$

Ceci montre que $\vert\partial_1\varphi\wedge\cdots\wedge\partial_m\varphi\vert$ se comporte comme un intégrand sous l'action d'un changement de variables régulier entre ouverts de ${\rm I\!R}^m$. Nous appellerons donc

$$d\sigma=\vert\partial_1\varphi\wedge\cdots\wedge\partial_m\varphi\vert du^1\ldots du^m$$

l'élément de surface de $\Sigma$, la mesure ou la surface d'une partie $e=\varphi(K), \ K\subset U$, de $\Sigma$ étant alors

$$S_\Sigma(e)=\int_e d\sigma=\int_K\vert\partial_1\varphi\wedge\cdots\wedge\partial_m\varphi\vert du^1\ldots du^m.$$

L'élément de surface s'exprime au moyen de la première forme fondamentale.

Proposition 46   On a

$$d\sigma=\sqrt{\det(g_{ij})}du^1\cdots du^m.$$

C'est immédiat compte tenu de la Proposition 45.$\qedsymbol$