Pour aider à comprendre le mécanisme de la démonstration précédente, nous allons faire les calculs explicites dans un cas particulier moins élémentaire que celui de
. Considérons le cas où . Il admet le paramétrage par des coordonnées
défini dans
.
On a
.
Son application linéaire tangente en ce point est donnée
On la considère dans l'ouvert formé des
pour lesquels
, et
.
L'application
s'obtient en bloquant le premier argument
de à la valeur . On a donc
L'équation différentielle dont il est question dans la démonstration
est alors
La solution de ces équations découlera immédiatement de l'expression
de l'exponentielle des éléments de
décrite après la
propriété suivante.
Proposition 27
Il existe un voisinage ouvert de 0 dans
dans lequel
l'application
est un paramétrage d'un voisinage
de dans .
En vertu d'un théorème d'analyse non linéaire, si la
différentielle en d'une fonction
de classe
est injective, alors, quitte à restreindre à un voisinage de
, c'est un paramétrage de son image
. Pour établir
la proposition, il nous
suffit donc de vérifier que est injectif. Or
Lorsque ,
et le paramétrage correspondant n'est autre que l'application qui
associe à la matrice de rotation d'angle , qui
représente la multiplication à
gauche par le nombre complexe
.
Voyons à quoi ressemble le paramétrage par l'exponentielle dans le
cas de
. Cherchons
lorsque
sous la
forme(5.9)
En imposant à de vérifier l'équation (7), et en tenant
compte du fait que
, on obtient l'équation