5.3.2.1 Inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique

Considérons par exemple la fonction $f:(x^1,\ldots,x^m)\mapsto x^1\cdots x^m$, homogène de poids $m$. Si $a$ est un point stationnaire de $f$ sur $S^{m-1}$, il existe $\lambda$ tel que

$$\partial_if(a)=a^1\cdots\hat{a^i}\cdots a^m=\lambda a^i, \ i=1,\ldots, m.$$

(l'accent circonflexe indique l'omission.) Il est facile de vérifier que les points stationnaires dont aucune composante n'est nulle (les autres sont sans importance en l'occurrence car $f$ s'y annule) sont les points

$$\frac{1}{\sqrt{m}}(\pm 1,\ldots,\pm 1)$$

où les signes sont choisis arbitrairement pour chaque composante. Le minimum et le maximum absolus de $f$ sont donc $\pm m^{-m/2}$. Ainsi,

$$-m^{-m/2}(\sum (x^i)^2)^{m/2}\leq x^1\cdots x^m\leq m^{-m/2}(\sum (x^i)^2)^{m/2}.$$

Les $(x^i)^2$ représentant des nombres non négatifs $u_i$ arbitraires, il vient en élevant au carré et en extrayant la racine m-ième

$$\sqrt[m]{u_1\cdots u_m}\leq \frac{u_1+\cdots +u_m}{m}.$$

En pistant les calculs, on voit en outre que l'égalité est réalisée si et seulement si les $u_i$ sont égaux (^5.13).