6.1.6.2 Produit vectoriel

Dans ce paragraphe, nous noterons $n+1$ la dimension de l'espace vectoriel $E$ par ailleurs encore supposé euclidien et orienté. Nous allons généraliser la notion de produit vectoriel introduite d'ordinaire pour les espaces de dimension $3$.

Proposition 44   Pour tous ${\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_n\in E$, il existe un seul ${\bf w}\in E$ tel que

$$[{\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_n,{\bf u}_{n+1}]={\bf w}.{\bf u}_{n+1}, \ \forall {\bf u}_{n+1} \in E.$$

Il ne saurait en exister qu'un seul. En effet, si ${\bf u}_{n+1}.{\bf w}={\bf u}_{n+1}.{\bf w}'$ pour tout ${\bf u}_{n+1}$, alors ${\bf w}-{\bf w}'$ est perpendiculaire à $E$ et est donc nul. Dans une base orthonormée positive de $E$, $[{\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_{n+1}]$ est le déterminant de la matrice $U$ dont les colonnes successives sont les composantes de ${\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_{n+1}$ dans cette base:

$$[{\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_{n+1}]=\sum_i{\bf u}_{n+1}^i{\mathcal U}_{n+1}^i,$$

où ${\mathcal U}_{n+1}^i$ est le mineur algébrique de l'élément occupant la dernière colonne et la $i$-ème ligne de $U$. Le vecteur ${\bf w}$ dont ces mineurs sont les composantes dans la base considérée répond donc à la question.$\qedsymbol$

Le vecteur ${\bf w}$ de l'énoncé précédent s'appelle le produit vectoriel des ${\bf u}_i$. On le note ${\bf u}_1\wedge\ldots\wedge{\bf u}_n$. La démonstration de cet énoncé montre que, dans toute base orthonormée positive de $E$, sa composante numéro $i$, exprimée à l'aide des composantes $u^l_k$ des ${\bf u}_k$, est

$$% latex2html id marker 20723(-1)^{n+1+i} \left\vert \begin... ...vdots&&\vdots\\ u^{n+1}_1&&u^{n+1}_n \end{array}\right\vert v$$

(les crochets signalent que les composantes de ${\bf u}_i$ sont omises).

Proposition 45   a) $\vert{\bf u}_1\wedge\ldots\wedge{\bf u}_n\vert=\sqrt{\det({\bf u}_i.{\bf u}_j)}$: $\vert{\bf u}_1\wedge\ldots\wedge{\bf u}_n\vert$ est le volume du paralléllépipède engendré par les ${\bf u}_i$ calculé dans tout hyperplan qui les contient (^6.9).
b) ${\bf u}_1\wedge\ldots\wedge{\bf u}_n$ est nul si et seulement si ${\bf u}_1,\ldots ,{\bf u}_n$ sont linéairement dépendants.
c) ${\bf u}_1\wedge\ldots\wedge{\bf u}_n$ est orthogonal à chaque ${\bf u}_i$.
d) Si ${\bf u}_1,\ldots ,{\bf u}_n$ sont linéairement indépendants, alors $({\bf u}_1,\ldots ,{\bf u}_n,{\bf u}_1\wedge\ldots\wedge{\bf u}_n)$ est une base positive de $E$.

b) découle de a) car le volume en question est nul si et seulement si les ${\bf u}_i$ sont linéairement dépendants. Pour c), on remarque que

$$({\bf u}_1\wedge\ldots\wedge{\bf u}_n).{\bf u}_i=[{\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_n,{\bf u}_i]$$

est nul puisque deux arguments de ce produit mixte sont égaux. Quant à d), il résulte de b) et de

$$[{\bf u}_1,\ldots ,{\bf u}_n,{\bf u... ...edge\ldots\wedge{\bf u}_n]=\vert({\bf u}_1\wedge\ldots\wedge{\bf u}_n)\vert^2.$$

Montrons a). Soit un hyperplan $\alpha$ contenant les ${\bf u}_i$. (Il est unique si ceux-ci sont linéairement dépendants.) On choisit une base orthonormée positive ${\mathcal B}$ de $E$ dont les $n$ premiers éléments forment une base ${\mathcal B}_\alpha$ de $\alpha$. Calculé dans la base ${\mathcal B}$, $\vert{\bf u}_1\wedge\ldots\wedge{\bf u}_n\vert$ est la valeur absolue du déterminant de la matrice des composantes des ${\bf u}_i$ dans la base ${\mathcal B}_\alpha$ de $\alpha$, c'est-à-dire la valeur absolue de leur produit mixte calculé dans l'espace vectoriel $\alpha$ orienté par cette base. D'où le résultat, en appliquant la Proposition 43.$\qedsymbol$

Lorsque $n=1$, le produit vectoriel n'a qu'un argument. C'est une application linéaire ${\bf u}\mapsto {\bf u}^\perp$ de $E$ dans lui-même. Si ${\bf u}=u^1 {\bf e}_1+u^2 {\bf e}_2$, alors ${\bf u}^\perp=-u^2 {\bf e}_1+u^1 {\bf e} _2$, la base $({\bf e}_1,{\bf e}_2)$ étant orthonormée positive. C'est la rotation vectorielle d'angle $\pi/2$. En particulier, $({\bf u}^\perp)^\perp=-{\bf u}$.