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6.1.6.1 Produit mixte

Nous désignons par $ E$ un espace vectoriel (réel) de dimension $ n$. Il est euclidien et orienté.

Lemme 42   Le déterminant

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 20586\det
\left(
\begin{array}{ccc}...
...n\\
\vdots&\cdots&\vdots\\
u^n_1&&u^n_n
\end{array}\right)
\end{displaymath}

dont les colonnes sont formées par les composantes % latex2html id marker 20588
$ {\bf u}_{1,{\mathcal B}},\ldots,{\bf u}_{n,{\mathcal B}}$ de % latex2html id marker 20590
$ {\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_n\in E$ dans une base $ {\mathcal B}$ de $ E$ prend la même valeur dans toutes les bases orthonormées positives.

En effet, on passe d'une base orthonormée positive $ {\mathcal B}$ à une base orthonormée positive $ {\mathcal B}'$ au moyen d'une matrice $ A$ orthogonale et de déterminant $ 1$. On a alors

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 20604\begin{array}{cll}
\det ({\bf ...
...1,{\mathcal B}}\cdots{\bf u}_{n,{\mathcal B}}).\qed
\end{array}\end{displaymath}

La valeur que prend le déterminant du lemme ci-dessus dans les bases orthonormées positives de $ E$ s'appelle le produit mixte des vecteurs % latex2html id marker 20608
$ {\bf u}_i$. Il est noté % latex2html id marker 20610
$ [{\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_n]$. Voici son interprétation géométrique.

Proposition 43   Le volume du parallélépidède % latex2html id marker 20613
$ \rangle {\bf u}_1,\ldots, {\bf u}_n\langle$ engendré par % latex2html id marker 20615
$ {\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_n$ est

% latex2html id marker 20617
$\displaystyle \vert[{\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_n]\vert=\sqrt{\det({\bf u}_i.{\bf u}_j)}.
$

Supposons d'abord les % latex2html id marker 20619
$ {\bf u}_i$ linéairement indépendants. Le parallélépipède en question est, par définition, l'ensemble

% latex2html id marker 20621
$\displaystyle \rangle {\bf u}_1,\ldots, {\bf u}_n\langle=\{t^1{\bf u}_1+\cdots
t^n{\bf u}_n\vert t^1,\ldots,t^n\in [0,1]\}.
$

L'application % latex2html id marker 20623
$ \varphi:(t^1,\ldots,t^n)\in {\rm I\!R}^n\mapsto \sum_i
t^i{\bf u}_i\in E$ est un paramétrage. Il transforme $ [0,1]^n$ en % latex2html id marker 20627
$ \rangle{\bf u}_1,\ldots, {\bf u}_n\langle$. Le volume de celui-ci est donc(6.7)

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 20631\begin{array}{cll}
mes(\rangle...
...\\  [1ex]
&=&\vert[{\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_n]\vert
\end{array}\end{displaymath}

par la formule du changement de variables dans les intégrales. Lorsque les % latex2html id marker 20633
$ {\bf u}_i$ sont linéairement dépendants les deux membres extrêmes de ces égalités sont nuls. D'autre part, si nous notons $ U$ la matrice dont les colonnes sont les composantes des % latex2html id marker 20637
$ {\bf u}_i$ dans la base du repère, alors, puisque ce dernier est orthonormé,

% latex2html id marker 20639
$\displaystyle \vert[{\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_n]\vert^2=\det(\tilde{U}U)=\det({\bf u}_i.{\bf u}_j) .\qed
$


Au passage, observons que la dernière égalité démontre que l'on a toujours % latex2html id marker 20641
$ \det({\bf u}_i.{\bf u}_j)\geq 0$, l'égalité ayant lieu si et seulement les % latex2html id marker 20643
$ {\bf u}_i$ sont linéairement dépendants. Remarquons aussi que

% latex2html id marker 20645
$\displaystyle 2\ {\bf u}_i.{\bf u}_j=\vert{\bf u}_i\vert^2+\vert{\bf u}_j\vert^2-\vert{\bf u}_i-{\bf u}_j\vert^2,
$

ce qui montre que le volume de % latex2html id marker 20647
$ \rangle {\bf u}_1,\ldots,
{\bf u}_n\langle$ s'exprime à l'aide des longueurs, % latex2html id marker 20649
$ \vert{\bf u}_i\vert$ et % latex2html id marker 20651
$ \vert{\bf u}_i-{\bf u}_j\vert$ des côtés du simplexe (6.8)

% latex2html id marker 20657
$\displaystyle \Delta({\bf u}_1,\ldots,{\bf u}_n)=\{\sum_it^i{\bf u}_i\vert\leq
t^1,\ldots,t^n,\sum_it^i\leq 1\} .
$

Ceci permet par exemple d'écrire le volume d'un tétraèdre en terme des longueurs de ses arêtes (cas $ n=3$) et de retrouver la formule de Héron

$\displaystyle S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
$

exprimant la surface d'un triangle dont les côtés sont de longueurs $ a,b,c$ et de demi périmètre $ p$ (cas $ n=2$).

Tout espace vectoriel euclidien de dimension finie possède donc un produit mixte associé à chacune de ses deux orientations possibles. C'est en particulier le cas des sous-espaces vectoriels d'un tels espace car ils héritent de son produit scalaire et sont donc euclidiens. Nous allons voir que les produits mixtes des hyperplans vectoriels d'un espace sont liés au produit vectoriel défini sur celui-ci.



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