5.2.2.2 Algèbres de Lie de dimensions $2$ et $3$

Proposition 29   Si $L$ est une algèbre de Lie de dimension $2$ non commutative, alors elle est isomorphe à $aff(1,{\rm I\!R})$: elle admet une base $(e_1,e_2)$ pour laquelle $[e_1,e_2]=e_2$.

Soit une base $(u,v)$ de $L$. Si $L$ n'est pas commutatif, le crochet $[u,v]=au+bv$ n'est pas nul. Supposons par exemple que $a\neq 0$. On a donc

$$[u+\frac{b}{a}v,\frac{v}{a}]=u+\frac{b}{a}v.$$

La base $(e_1=-\frac{v}{a},e_2=u+\frac{b}{a}v)$ est alors telle que $[e_1,e_2]=e_2$. Pour conclure, on observe que la base

$$% latex2html id marker 19213( e'_1= \left ( \begin{array}{... ...2= \left ( \begin{array}{cc} 0&1\\ 0&0 \end{array}\right ) )$$

de $aff(1,{\rm I\!R})$ est telle que $[e'_1,e'_2]=e'_2$.$\qedsymbol$

Il y a, à isomorphisme près, une dizaine de familles d'algèbres de Lie de dimension $3$. Outre l'algèbre commutative, il y a l'algèbre de Lie de Heisenberg $H_1$ (voir plus bas la définition de $H_n$), le produit ${\rm I\!R}\times aff(1,{\rm I\!R})$ (^5.10), $so(3)$ et $sl(2,{\rm I\!R})$. Les deux dernières admettent une base $(e_1,e_2,e_3)$ telle que, respectivement,

$$[e_i,e_j]=\sum_k\epsilon_{ijk}e_k$$

et

$$[e_1,e_2]=2e_2,\ [e_1,e_3]=-2e_3,\ [e_2,e_3]=e_1.$$

Pour rappel, $\epsilon_{ijk}$ vaut $1$ ou $-1$ selon que $i,j,k$ est une permutation paire ou impaire de $1,2,3$ et est nul sinon.

Si on rapporte un espace vectoriel euclidien orienté $E$ de dimension $3$ à une base orthonormée positive $({\bf u}_1,{\bf u}_2,{\bf u}_3)$, alors ${\bf u}_i\wedge {\bf u}_j=\sum_k\epsilon_{ijk}{\bf u}_k$. Le produit vectoriel fait donc de $E$ une algèbre de Lie isomorphe à $so(3)$. On peut y vérifier directement l'identité de Jacobi en utilisant la formule du double produit vectoriel.