... (^2.1

Restreindre à ${\mathcal V}$ les translations de vecteur ${\bf u}\in \overrightarrow{{\mathcal V}}$ fait de ${\mathcal V}$ un espace affine sur $\overrightarrow{{\mathcal V}}$. La notation $\overrightarrow{{\mathcal V}}$ et la définition de ${\rm dim}\ {\mathcal V}$ sont donc licites.

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... (^2.2

Les points sont les variétés affines de dimension 0.

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... (^3.1

On l'appelle aussi norme de ${\bf u}$, et on le note aussi $\vert\!\vert{\bf u}\vert\!\vert$.

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... rectangles(^3.2

et en anticipant un rien sur le chapitre suivant

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...^3.3

sous réserve que $\varphi$ ne soit ni 0 ni $\pi$.

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... (^3.4

Vu la Remarque 4.7, ces bases ont deux à deux la même orientation.

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... (^4.1

Par extension, on dit aussi que ${\bf n}$ est une normale à $\alpha$.

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... (^4.2

Comprendre: la meilleure borne inférieure.

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...(^4.3

En effet, le problème se ramène au cas précédent en considérant un plan contenant $P$ et ${\mathcal D}$

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... (^4.4

Elle est forcément unique : s'il y a deux perpendiculaires à ${\mathcal D}$ et ${\mathcal D}'$, elles forment nécessairement un plan contenant ${\mathcal D}$ et ${\mathcal D}'$.

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...angperp(^4.5

La vérification de l'hypothèse d'orientation est facile mais fastidieuse; nous l'omettrons.

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... latitude(^4.6

Elle diffère de la latitude géographique qui est mesurée à partir de l'équateur plutôt qu'à partir du pôle nord.

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... (^5.1

Lorsque ${\rm dim} \ {\mathcal E}> 1$, cette propriété est caractéristique des bijections affines. Nous ne nous servirons pas de ce fait, assez difficile à établir.

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...(^5.2

Les exemples considérés ici se généralisent facilement à des variétés affines dont les sous-vectoriels directeurs sont supplémentaires l'un de l'autre.

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...(^5.3

Lorsque ${\mathcal D}$ est orthogonale à $\alpha$, il s'agit de la projection orthogonale $pr_\alpha^\perp(A)$ de $A$ sur $\alpha$.

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... matrices(^5.4

C'est une façon de dire que le groupe des affinités de ${\rm I\!R}^n$ est un sous-groupe de celui des transformations linéaires de ${\rm I\!R}^{n+1}$: $Aff(n,{\rm I\!R})\subset GL(n+1,{\rm I\!R})$

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...(^5.5

On appelle de la même façon les autres solutions des équations $\cos\theta=a$ et $\sin\theta=b$.

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...(^5.6

On désigne par ${\rm tr}\ {\mathcal A}$ la trace de l'application linéaire ${\mathcal A}$.

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... ouvertes(^6.1

La boule ouverte de centre $C$ et rayon $r$ est l'ensemble des points dont la distance à $C$ est plus petite que r.

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...)(^6.2

Le mot paramétrage est réservé à des fonctions injectives. Nous ferons exception à cette règle pour les paramétrages des arcs réguliers de courbes.

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... (^6.3

Nous ne démontrerons pas ce fait qui repose sur le théorème des fonctions implicites.

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... (^6.4

Il s'agit bien d'une relation d'équivalence. La vérification est facile mais sans intérêt géométrique.

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... (^6.5

Sauf pour une courbe plane, bien entendu.

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... (^6.6

On obtiendrait aussi $\tau$ en calculant directement ${\bf b}'$, mais c'est plus lourd.

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... donc(^6.7

La dérivée de l'inverse $A^{-1}$ d'une matrice $A$ par rapport à une variable dont elle dépend est donnée par $-A^{-1}A'A^{-1}$, où $A'$ est celle de $A$.

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... (^6.8

Le cercle ne passant pas par $P_0$, on peut exclure celui-ci de $\Omega$ et garantir ainsi que ${\rm grad}\ F$ ne s'y annule pas.

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... (^6.9

L'arbitraire lié à l'orientation subsiste: si on remplace $F$ par $-F$, on renverse l'orientation.

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... (^6.10

Les calculs sont analogues lorsque l'ordonnée est le paramètre.

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... ci-dessus(^6.11

D'habitude, l'origine du repère est prise en le sommet de la parabole, à mi-chemin entre le foyer et la directrice; avec $p=l$ l'équation, canonique, de la parabole s'écrit alors $y^2=2px$.

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... inférieure(^6.12

c'est-à-dire celle dont les points ont une ordonnée négative ou nulle dans le repère $(O,({\bf e}_1,{\bf e}_2)).$

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... (^6.13

Le signe de $a\in{\rm I\!R}$ est ici $-1$, 0 ou $1$ selon que $a$ est respectivement négatif, nul ou positif.

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... respectivement(^6.14

Avec la première égalité, en posant $x'_i=x_i+\beta_i/\alpha_i$, on annule $\beta_i$ en conservant $\alpha_i$ intact.

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...(^7.1

Cette définition est restrictive. En général, une surface est un ensemble $S$ dont chaque point possède un voisinage $\Omega$ dans lequel est définie une équation cartésienne de $S\cap\Omega$. Comme nous n'abordons ici que l'étude locale des surface, il n'y a aucun problème à adopter la définition moins générale du texte

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... l'analyse(^7.2

Par exemple, le fait que la mesure de l'aire obtenue par cette formule ne dépende pas du paramétrage est une conséquence du théorème du changement de variables dans les intégrales multiples.

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... cylindre(^7.3

En effet, la longueur d'un arc de cercle de rayon $r$ vu sous un angle $u$ depuis le centre est $ru$, pour autant que l'angle soit mesuré en radians.

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... cônes(^7.4

Un cône de sommet $S$ est un ensemble qui contient les droites passant par $S$ et ses points distincts de $S$, appelées génératrices.

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... cylindres(^7.5

Un cylindre est un ensemble qui contient les droites menées par ses points parallèlement à une direction fixe donnée, appelées génératrices

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... tenant(^7.6

comprendre connexe.

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... (^7.7

A titre d'exercice, on vérifiera que la surface décrite dans l'exemple 2.1 est effectivement un paraboloïde hyperbolique.

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...(^7.8

Nous ne donnerons pas la démonstration de ce fait, qui relève de l'analyse.

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...(^7.9

comprendre: pour toute valeur de $\lambda$

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...(^7.10

Elle n'est définie que dans l'ensemble des $t$ en lesquels ${\bf a}'(t)\ne{\bf 0}$. Ce n'est pas nécessairement un arc régulier de courbe.

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