- ... (2.1
- Restreindre à
les translations de vecteur
fait de
un espace affine sur
. La notation
et la définition de
sont donc licites.
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- ... (2.2
- Les points sont les variétés affines de dimension 0.
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- ... (3.1
- On l'appelle aussi norme de
, et on le note aussi
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- ... rectangles(3.2
- et en anticipant un rien sur le chapitre
suivant
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- ...3.3
- sous réserve que
ne
soit ni 0 ni
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- ... (3.4
- Vu la Remarque 4.7, ces bases ont deux à deux
la même orientation.
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- ... (4.1
- Par extension, on dit aussi que
est une
normale à
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- ... (4.2
- Comprendre: la meilleure borne inférieure.
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- ...(4.3
- En effet, le problème se ramène au cas précédent en considérant un plan contenant
et
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- ... (4.4
- Elle est forcément unique : s'il y a deux
perpendiculaires à
et
, elles forment nécessairement un
plan contenant
et
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- ...angperp(4.5
- La vérification de l'hypothèse d'orientation est facile mais fastidieuse; nous l'omettrons.
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- ... latitude(4.6
- Elle diffère de la latitude géographique qui est mesurée à
partir de l'équateur plutôt qu'à partir du pôle nord.
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- ... (5.1
- Lorsque
, cette propriété est
caractéristique des bijections affines. Nous ne nous servirons pas de ce fait, assez difficile à établir.
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- ...(5.2
- Les exemples considérés ici se généralisent facilement à des variétés
affines dont les sous-vectoriels directeurs sont supplémentaires l'un de l'autre.
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- ...(5.3
- Lorsque
est orthogonale à
, il
s'agit de la projection orthogonale
de
sur
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- ... matrices(5.4
- C'est une façon de dire que le groupe des affinités de
est un sous-groupe de celui des transformations linéaires de
:
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- ...(5.5
- On appelle de la même façon les autres
solutions des équations
et
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- ...(5.6
- On désigne par
la trace de
l'application linéaire
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- ...
ouvertes(6.1
- La boule ouverte de centre
et rayon
est l'ensemble des points dont la distance à
est plus petite que r.
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- ...)(6.2
- Le mot paramétrage est réservé à des fonctions injectives. Nous ferons exception à cette règle pour les
paramétrages des arcs réguliers de courbes.
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- ...
(6.3
- Nous ne démontrerons pas ce fait qui repose sur le théorème des fonctions implicites.
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- ...
(6.4
- Il s'agit bien d'une relation d'équivalence. La vérification est facile mais sans intérêt géométrique.
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- ... (6.5
- Sauf pour une courbe plane, bien entendu.
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- ...
(6.6
- On obtiendrait aussi
en calculant directement
, mais c'est plus lourd.
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- ... donc(6.7
- La dérivée de l'inverse
d'une matrice
par rapport à une variable dont elle dépend est donnée par
, où
est
celle de
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- ... (6.8
- Le cercle ne passant pas par
, on peut exclure celui-ci de
et garantir
ainsi que
ne s'y annule pas.
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- ... (6.9
- L'arbitraire lié à l'orientation subsiste: si on remplace
par
, on renverse
l'orientation.
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- ... (6.10
- Les calculs sont analogues lorsque l'ordonnée est le paramètre.
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- ... ci-dessus(6.11
- D'habitude, l'origine du repère est prise en le sommet de la
parabole, à mi-chemin entre le foyer et la directrice; avec
l'équation, canonique, de la parabole s'écrit alors
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- ... inférieure(6.12
- c'est-à-dire celle
dont les points ont une ordonnée négative ou nulle dans le repère
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- ... (6.13
- Le signe de
est ici
, 0 ou
selon que
est respectivement négatif, nul ou
positif.
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- ... respectivement(6.14
- Avec la première égalité, en posant
, on annule
en conservant
intact.
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- ...(7.1
- Cette
définition est restrictive. En général, une surface est un ensemble
dont chaque point possède un voisinage
dans lequel est
définie une équation cartésienne de
. Comme nous
n'abordons ici que l'étude locale des surface, il n'y a aucun problème
à adopter la définition moins générale du texte
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- ... l'analyse(7.2
- Par exemple, le fait que la mesure de l'aire
obtenue par cette formule ne dépende pas du paramétrage est
une conséquence du théorème du changement de variables dans les
intégrales multiples.
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- ... cylindre(7.3
- En effet, la longueur d'un arc de cercle de rayon
vu sous un angle
depuis le centre est
, pour autant que
l'angle soit mesuré en radians.
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- ...
cônes(7.4
- Un cône de sommet
est un ensemble qui contient les
droites passant par
et ses points distincts de
, appelées
génératrices.
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- ... cylindres(7.5
- Un cylindre est un ensemble qui contient les droites menées par ses points
parallèlement à une direction fixe donnée, appelées génératrices
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- ...
tenant(7.6
- comprendre connexe.
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- ...
(7.7
- A titre d'exercice, on vérifiera que la surface décrite dans
l'exemple 2.1 est effectivement un paraboloïde hyperbolique.
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- ...(7.8
- Nous ne donnerons pas la démonstration de ce fait, qui relève de
l'analyse.
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- ...(7.9
- comprendre: pour
toute valeur de
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- ...(7.10
- Elle n'est définie que dans
l'ensemble des
en lesquels
. Ce n'est pas nécessairement un arc régulier de courbe.
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