6.4.3.1.1 Equation polaire

Conservons les notations de la démonstration précédente. On va à présent écrire l'équation polaire du lieu décrit dans la proposition ci-dessus en prenant $F$ comme origine et ${\bf e}_1$ comme vecteur de référence du système de coordonnées polaires. La distance à ${\mathcal D}$ d'un point $P$ de coordonnées polaires $(r,\theta)$ vaut $l+r\cos\theta$. Celle de $P$ à $F$ valant $r$, il vient donc, pour un point du lieu,

$$r=e(l+r\cos\theta)$$

ou encore

$$r=\frac{p}{1-e\cos\theta}\cdot$$ (6.7)

Quand $e<1$, le dénominateur de cette fraction est toujours positif. L'angle $\theta$ varie donc librement dans $[0,2\pi[$ et y décrit toute l'ellipse.

Quand $e=1$, le dénominateur est positif sauf en $\theta=0$ pour lequel il s'annule. Ceci correspond au fait que l'axe polaire $O+t{\bf e}_1, t\ge0$ est sur l'axe de symétrie de la parabole et orienté à l'opposé du sommet par rapport au foyer, qui est obtenu en $\theta=\pi$.

Figure 11: Promenade le long d'une hyperbole...

Quand $e>1$, $1/e$ est le cosinus d'un angle $\theta_0\in[0,\pi/2[$. Lorsque $\theta$ varie dans $]\theta_0,2\pi-\theta_0[$, $r$ est positif et l'équation ci-dessus décrit la branche de l'hyperbole relative au foyer $F$. Par contre, lorsque $\cos\theta>1/e$, c'est l'autre branche qui est décrite: de 0 à $\theta_0$, on en parcourt la moitié inférieure(^6.12), en s'éloignant du sommet; de $2\pi-\theta_0$ à 0, on en décrit l'autre moitié en se rapprochant du sommet, le point $P$ étant d'autant plus éloigné de celui-ci que $\theta$ est proche de $\theta_0$. L'angle $\theta_0$ est l'angle non orienté que fait chaque asymptote avec l'axe focal.

Lorsque $e=0$, l'équation (29) représente une circonférence, de centre $O$ et de rayon $p$, à condition d'oublier que $p$ est initialement défini comme le produit de la distance $d(F,{\mathcal D})$ par l'excentricité et de supposer que c'est un nombre positif donné.