6.4.3.2.1 Les invariants

Un changement de repère modifie la forme de l'équation (30). On peut d'une part en profiter pour lui donner une forme simple. C'est la réduction à la forme canonique de l'équation. On peut d'autre part essayer de détecter assez de quantités invariantes sous l'action du changement de repère pour pouvoir préciser la nature du lieu considéré sans avoir à procéder à cette réduction.

Examinons comment se transforme l'équation lorsque l'on change la base du repère, passant ainsi de la coordonnée ${\bf x}$ à ${\bf x}'$. On a ${\bf x}=S{\bf x}'$, où $S$ est une matrice non singulière, qui est de plus orthogonale quand la nouvelle base est orthonormée comme l'ancienne. L'équation du lieu devient par conséquent

$$S^TAS{\bf x}'.{\bf x}'+2S^T{\bf b}.{\bf x}'+c=0$$

On en déduit que les déterminants

$$% latex2html id marker 35431\delta=\vert A\vert,\ \Delta=... ...in{array}{cc} A&{\bf b}\\ {\bf b}^T&c \end{array}\right\vert$$

ne changent pas de signe (^6.13) lors d'un changement de la base du repère. On vérifierait de même que ces déterminants sont inchangés par une translation de l'origine du repère.