6.4.3.2.2 Discussion

Comme la matrice $A$ est symétrique, elle est diagonalisable (par une matrice orthogonale de déterminant $1$, si nécessaire) et ses valeurs propres sont réelles. On peut donc choisir $S$ pour donner à (30) la forme

$$\alpha_1\ x_1^2+\alpha_2\ x_2^2+2\beta_1\ x_1+2\beta_2\ x_2+\gamma=0.$$

Deux remarques supplémentaires permettent de simplifier encore cette équation.

a)Si $\alpha_i$ n'est pas nul, alors on peut faire en sorte que $\beta_i=0$, et même que $\alpha_i=±1$.

En effet, comme

$$\alpha_i\ x_i^2+2\beta_i\ x_i=\alpha_i(x_i+\frac{\beta_i}{\alpha_... ...c{\beta_i}{\sqrt{\vert\alpha_i\vert}})^2\mp\frac{\beta_i^2}{\vert\alpha_i\vert}$$

($+$ ou $-$ étant choisi selon que $\alpha_i$ est positif ou négatif), il suffit de remplacer la coordonnée $x_i$ par

$$x_i'=\sqrt{\vert\alpha_i\vert}\ x_i ± \frac{\beta_i}{\sqrt{\vert\alpha_i\vert}}$$

pour remplacer $\alpha_i$ et $\beta_i$ par $±1$ et 0 respectivement(^6.14).

b)Si $\alpha_i$ est nul et si $\beta_i$ ne l'est pas, alors on peut supposer que $\gamma=0$.

En effet, on peut alors changer $x_i$ en $x_i'=2\beta_i x_i+\gamma$ pour se débarrasser du terme indépendant.