7.5.1.0.2 L'élément de surface

Si l'on admet que, pour $s$ et $t$ très petits, l'aire du parallélogramme de sommets $P$, $P+s\partial_{u_{0}}\varphi$, $P+t\partial_{v_{0}}\varphi$, $P+s\partial_{u_{0}}\varphi+t\partial_{v_{0}}\varphi$ est une bonne approximation de l'aire de la surface $\varphi(u,v), \ s\in[u_{0},u_{0}+s], \ t\in[v_{0},v_{0}+t]$, alors on peut aussi comprendre que l'aire de la surface $\varphi(V)$, où $V\subset U$, est donnée par

$${\mathcal A}_{V}=\int_{V}\vert \partial_{u}\varphi\wedge\partial_{}\varphi \vert dudv$$

pour autant que cette intégrale existe. Nous accepterons cette définition dont une justification plus complète est du ressort de l'analyse(^7.2).

L'expression

$$d\sigma=\vert \partial_{u}\varphi\wedge\partial_{v}\varphi \vert dudv$$

est l'élément de surface de $S$, exprimé dans le paramétrage $(U,\varphi)$.

Proposition 7.5.4   L'élément de surface est donné par

$$d\sigma=\sqrt{AC-B^2}\ dudv.$$

Preuve. En effet, on a, en désignant par $\alpha$ l'angle que font $\partial_{u}\varphi$ et $\partial_{v}\varphi$,

$$\vert\partial_{u}\varphi\wedge\partial_{v}\varphi\vert^2=\vert\pa... ...^2\vert\partial_{v}\varphi\vert^2-(\partial_{u}\varphi.\partial_{v}\varphi)^2.$$

D'où le résultat, vu l'expression de $g_P$ donnée plus haut.$\qed$

Voici la notion d'aire illustrée en géographie. La représentation plane de la surface de la Terre déforme nécessairement les territoires représentés. La projection suivante conserve les aires. Elle consiste à projeter un point de la sphère terrestre perpendiculairement à l'axe des pôles sur le cylindre circulaire droit contenant l'équateur et dont les génératrices sont parallèles à cet axe. Le passage du cylindre au plan s'effectue ``en déroulant" le premier sur un de ses plans tangents. Le théorème suivant est attribué à Archimède!

Théorème 7.5.5   (Archimède) La projection d'une sphère sur un cylindre circulaire droit tangent à la sphère le long d'un grand cercle, orthogonalement au diamètre perpendiculaire au plan de ce cercle conserve les aires.

Preuve. Considérons la sphère et le cylindre tels qu'ils ont été paramétrés dans les exemples (5.1) et (5.2). Dans les paramétrages par les coordonnées sphériques et cylindriques, l'élément de surface de la sphère est $r^{2}\sin\lambda d\lambda d\mu$ et celui du cylindre est $rdudv$. De plus, l'expression de la projection considérée est

$$(r\sin\lambda\cos\mu,r\sin\lambda\sin\mu,r\cos\lambda)\mapsto (r\cos\mu,r\sin\mu,r\cos\lambda).$$

Elle fait donc correspondre le point de paramètres $(u,v)=(\mu,r\cos\lambda)$ du cylindre au point de paramètres $(\lambda,\mu)$ de la sphère. Le Jacobien $J$ de ce changement de variables est

$$% latex2html id marker 36429\det \left ( \begin{array}{cc}... ...\\ -r\sin\lambda & 0 \end{array}\right )=r\sin\lambda\cdot$$

Si les ensembles $V\subset ]0,\pi[\times ]0,2\pi[$ et $V'\subset]0,2\pi[\times {\rm I\!R}$ se correspondent, l'aire de la portion du cylindre paramétrée par $V'$ vaut, en application du théorème de changement de variables dans les intégrales,

$${\mathcal A}' = r\int_{V'}dudv$$

$$= r\int_{V}\vert J\vert d\lambda d\mu$$

$$= r^{2}\int_{V}\sin\lambda \ d\lambda d\mu.$$

D'où le résultat car la dernière expression représente l'aire ${\mathcal A}$ de la portion de la sphère décrite par $V$.$\qed$

Pour justifier complètement l'utilisation du théorème d'Archimède, il faut vérifier aussi qu'en ``déroulant" le cylindre dans un de ses plans tangents, les aires sont également conservées. En prenant le plan tangent en $P$ de coordonnées $(r,0,0)$ rapporté au repère $(P,({\bf e}_{2},{\bf e}_{3}))$, le ``déroulement" fait correspondre le point de coordonnées $(ru,v)$ du plan au point de paramètres $(u,v)$ du cylindre(^7.3). Les calculs peuvent alors être menés comme dans la preuve précédente. Ils sont laissés à titre d'exercice.