... (^1.1

C'est-à-dire une bijection de classe $C^k$ dont l'inverse est de classe $C^k$.

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... $C^k$(^1.2

Si on ne précise pas $k$, on parle de variété différentielle

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... (^1.3

Plus généralement, $({\rm I\!R}^m,x\mapsto x)$ est la carte canonique de ${\rm I\!R}^m$; elle définit sa structure naturelle de variété plongée.

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...(^1.4

Elles sont cependant difféomorphes (voir plus bas la définition de cette notion).

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... Lindelöf(^1.5

Tout recouvrement ouvert d'un espace topologique à base dénombrable, contient un recouvrement dénombrable

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...(^1.6

Comme ${\rm supp }\ \alpha_0$ est compact, $K$ est compact car $\varphi^{-1}$ est continu.

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...(^1.7

Par algèbre on entend un espace vectoriel ${\mathcal A}$ munit d'une application bilinéaire ${\mathcal A}\times{\mathcal A}\to{\mathcal A}$, la multiplication. Celle-ci est notée généralement par concaténation: $(u,v)\mapsto uv$. Un isomorphisme d'algèbres est alors une bijection linéaire $\Phi:{\mathcal A}\to{\mathcal A}'$ vérifiant $\Phi(uv)=\Phi(u)\Phi(v)$ pour tous $u,v\in{\mathcal A}$. Si les algèbres possèdent une unité - notée généralement $1$, on demande aussi que $\Phi(1)=1$

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...(^1.8

Un idéal à gauche d'une algèbre ${\mathcal A}$ est un sous-espace vectoriel $I$ de ${\mathcal A}$ tel que ${\mathcal A}I\subset I$. On définit de façon similaire un idéal à droite. Lorsque ${\mathcal A}$ est commmutatif, les deux notions coïncident et on parle simplement d'idéaux.

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...(^1.9

Par définition, $f_0^{-1}([a,b])$ est compact pour tous $a,b\in {\rm I\!R}$. Cette hypothèse n'est pas très contraignante mais nous ne saurions pas la discuter complètement ici. Par exemple, toutes les variétés plongées dans un espace euclidien y satisfont.

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...(^1.10

Du fait que $I$ et les $I_a$ sont de même codimension, cela revient à supposer que, quelque soit $a$, $I\not\subset I_a$.

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...(^1.11

Sinon, il serait égal à $C^\infty(M,{\rm I\!R})$.

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... compact(^1.12

C'est un fermé, par continuité de $f$, contenu dans un compact.

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...(^2.1

Certains faits relatifs à la notion de dual sont rappelés au chapitre 4.

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...(^2.2

Dans cet énoncé, $\partial_i$ désigne la dérivée partielle par rapport à la coordonnée locale $x^i$.

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...(^2.3

Noter que ${\bf h}.1=0$ puisque ${\bf h}.1={\bf h}.1^2=2{\bf h}.1$.

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...(^2.4

L'expression $(\psi\circ f\circ\varphi^{-1})_{*\varphi(a)}$ désigne la différentielle de $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}$ comme application entre ouverts d'espaces euclidiens, telle que définie dans des cours antérieurs. Elle coïncide avec celle d'application linéaire tangente si on identifie l'espace tangent à ${\rm I\!R}^m$ en chaque point à ${\rm I\!R}^m$, conformément à la remarque 1.3.

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...(^2.5

Un ouvert de $M$ étant une union de cartes de $M$, celles-ci en définissent une structure de variété. C'est toujours de celle-là qu'il sera question à propos de la structure de variété des ouverts de $M$

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...(^2.6

Ceci appelle quelques remarques. D'abord, nous les noterons usuellement $\partial_i$ sauf s'il est nécessaire de faire référence aux coordonnées locales considérées. Ensuite, $\overrightarrow{e_i}$ désigne le $i$-ème vecteur de la base canonique de ${\rm I\!R}^m$. Enfin, pour éviter une quelconque ambiguité, on précisera éventuellement le point en lequel $\partial_i$ est tangent en notant plus précisément $\partial_i(a)$ celui-ci.

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...$i,j.($^2.7

Le plus souvent, on oubliera d'écrire le ``$.$'' et l'on notera $&part#partial;_ix^j$ ce qu'on devrait noter $&part#partial;_i.x^j$. Plus généralement, on se permettra à l'occasion d'écrire $&part#partial;_if$ à la place de $&part#partial;_i.f$.

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...(^2.8

Une submersion est une application $f$ pour laquelle $f_{*a}$ est surjectif en tout $a$.

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... (^2.9

La signification du mot fibré ne sera pas donnée à ce stade. Il faut prendre l'expression ``fibré tangent'' comme un tout insécable.

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...(^2.10

Ainsi, la différentielle d'une application différentiable entre variétés est de nouveau une application différentiable entre variétés.

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...(^2.11

Si $(U,\varphi)$ et $V,\psi)$ sont des cartes de variétés $M$ et $N$, alors $(U\times V,(\varphi,\psi))$ en est une de $M\times N$. Avec ces cartes, $M\times N$ est muni d'une structure de variété, appelée produit cartésien des structures de $M$ et de $N$. Sauf mention explicite du contraire, c'est toujours cette structure dont nous munirons les produits $M\times N$.

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...(^2.12

Pour tout produit cartésien, nous noterons $p_k$ la projection sur le facteur de numéro $k$, pour autant qu'il n'en résulte aucune confusion.

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...(^2.13

La réciproque est vraie: une parallélisation donne un difféomorphisme

$$(x,(r_1,\ldots,r_m))\mapsto \sum_ir_i\tau_i(x)$$

entre ${\rm I\!R}^m$ et $TM$, linéaire sur les facteurs de droite.

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... parallélisation(^2.14

Cet exemple généralise les deux précédents, $S^1$ et $S^3$ pouvant être considérés comme des sous-groupes de $GL(2,{\rm I\!R})$ et $GL(4,{\rm I\!R})$ respectivement, un élément $x$ de ces sphères, $z$ ou $q$, étant confondu avec la multiplication à gauche $x'\mapsto xx'$ par $x$.

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... $X(x)=\sum_iX^i(u)\partial_i(x).($^3.1

Dans la suite, selon les circonstances, nous noterons $X(x)$ ou $X_x$ la valeur de $X$ en $x&isin#in;M$.

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... lui-même(^3.2

C'est la restriction à $G$ d'une application de classe $C^\infty$ de $gl(p,{\rm I\!R})$ dans lui-même, à savoir $A\mapsto SA$. Un lemme analogue au précédent permettrait de conclure. Nous ne détaillerons pas.

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... forme(^3.3

Cela ne sera pas vérifié explicitement ici.

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...(^3.4

En fait, on peut vérifier que si $I=J$, alors $\gamma$ et $\delta$ sont automatiquement égaux.

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... complets(^3.5

Plus généralement, les champs de vecteurs à support compact sont toujours complets.

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... sait(^3.6

Ceci sera redémontré plus bas.

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...(^3.7

La proposition 2.3 étant vraie également en classe $C^2$, on pourrait améliorer cette hypothèse.

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... entier(^3.8

En fait ${\rm I\!R}^mP$ est compact. Ses champs de vecteurs sont donc tous complets.

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... (^3.9

Les applications $\frac{d}{d\lambda}$ et $\varphi_{-s*}$ commutent car celle-ci est une application entre espaces vectoriels de dimension finie. La vérification est aisée en passant à des bases.

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... $E$(^4.1

En particulier, les dimensions de $E$ et de $E^*$ sont égales.

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... duales(^4.2

L'indice supérieur est celui décrivant les lignes de la matrice.

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...(^5.1

Ayant utilisé $H, K$ pour désigner des champs de vecteurs sur $T^*M$, nous utiliserons $A,B,\ldots$ pour désigner des vecteurs tangents à $T^*M$...

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... inverse(^5.2

... et nous utiliserons $\alpha, \beta, \ldots$ pour désigner des vecteurs cotangents à $T^*M$ afin de les distinguer de ceux qui sont cotangents à $M$ et que nous avons notés $\xi, \eta,\ldots$

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...(^5.3

Il serait un peu lourd d'écrire $H^{\flat_\xi}$ Aussi, nous ne rapellerons généralement pas $\xi$ en indice de $\flat$. Remarque analogue pour $\sharp$.

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... entier(^5.4

Relire leurs démonstrations pour s'en convaincre

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... $\oint_{HKL}H.\omega^M_\xi(K,L)=\oint_{HKL}\omega^M_\xi([H,K],L)($^5.5

Le symbole $&conint#oint;_abc$ représente la somme sur les permutations circulaires de $a,b,c$

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...(^5.6

ou sur un domaine $T^*U$ de carte canonique, la question étant manifestement locale.

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... canoniques(^5.7

Voir la démonstration de la proposition 2.1 pour se rappeler l'expression locale de $\pi_M$.

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... formel(^5.8

Dans le langage général des formes difféentielles, la première relation signifie que la forme symplectique est fermée. La seconde signifie qu'elle est exacte. Il se fait que toute forme exacte est automatiquement fermée, la réciproque n'étant pas toujours vraie.

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... classique(^6.1

Ici les contraintes sont indépendante s du temps. Il faudrait introduire une structure de contact - ajouter une dimension - pour tenir compte de contraintes non autonomes.

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... démonstration(^6.2

Elle n'est pas vraie sur toutes les variétés symplectiques. Par exemple, elle est fausse sur les variétés symplectiques compactes.

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... polynômes(^6.3

La caractérisation à laquelle nous parviendrons se transpose en fait à tout les fibrés vectoriels. Elle s'applique par exemple ainsi au fibré tangent.

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... que(^6.4

D'après a), $D(u)=\{f,u\circ\pi_M\}\circ\iota_M$.

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