1.3 Applications différentiables

Soient des variétés différentielles $M$ et $N$, de classe $C^k$. Une application $f:M\to N$ est de classe $C^l$, avec $0\leq l\leq k$, si, pour tout $a\in M$, il existe des cartes $(U,\varphi)$ de $M$ et $(V,\psi)$ de $N$ telles que $a\in U$, $f(U)\subset V$ et

$$\psi\circ f\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\to\psi(V)$$

soit de classe $C^l$. Cette application s'appelle l'expression locale de $f$ dans les cartes $(U,\varphi)$ et $(V,\psi)$.

Il est utile d'observer que

Remarque 1.3.1   Si $f$ est de classe $C^l$, alors ses expressions locales dans toutes cartes $(U,\varphi)$ et $(V,\psi)$ telles que $f(U)\subset V$ sont de classe $C^l$.

En effet, soient $u\in\varphi(U)$, $a=\varphi^{-1}(u)$ et des cartes $(U_0,\varphi_0)$ et $(V_0,\psi_0)$ dans lesquelles l'expression locale de $f$ est de classe $C^l$, avec $a\in U_0$. Il suffit de noter que

$$\omega=(\varphi_0\circ\varphi^{-1})^{-1}(\psi_0\circ f\circ\varphi_0^{-1})^{-1}(\psi_0(V\cap V_0))$$ (1.1)

est un ouvert de $\varphi(U)$, contenant $u$, et que, dans celui-ci,

$$\psi\circ f\circ\varphi^{-1}=(\psi\circ\psi_0^{-1})\circ(\psi_0\circ f\circ\varphi_0^{-1})\circ(\varphi_0\circ\varphi^{-1}),$$

ce qui prouve que $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}$ est de classe $C^l$ au voisinage de $u$ puisque les changements de cartes $\psi\circ\psi_0^{-1}$ et $\varphi_0\circ\varphi^{-1}$ sont des difféomorphismes de classe $C^l$. En ce qui concerne (1), on remarque que $\psi_0(V\cap V_0)$ est ouvert par définition de la compatibilité des cartes, ensuite on conclut en utilisant le fait que $\psi_0\circ f\circ\varphi_0^{-1}$ et $\varphi_0\circ\varphi^{-1}$ sont continus.

Chemin faisant, nous venons de voir que

Remarque 1.3.2   Si $f$ est de classe $C^l$ et si les domaines des cartes $(U,\varphi)$ et $(V,\psi)$ contiennent $a$ et $f(a)$ respectivement, alors on peut restreindre $U$ pour qu'en outre $f(U)\subset V$.

En particulier, les fonctions de classe $C^k$ entre variétés sont continues. Nous utiliserons ce fait librement dans la suite, de même que le suivant.

Remarque 1.3.3   Soit une carte $(U,\varphi)$. Si le support de $\alpha_0\in C^k(\varphi(U),{\rm I\!R})$ est compact, alors

$$% latex2html id marker 10665\alpha:x\in M\mapsto \left\{ \... ...alpha_0(\varphi(x))&si \ x\in U\\ 0&sinon \end{array}\right.$$

appartient à $C^k(M,{\rm I\!R})$.

Figure 1: Allure de $\beta _0$.

Voici comment on peut vérifier ceci. Soit $K$ le compact $\varphi^{-1}({\rm supp }\ \alpha_0)$ de $U$(^1.6). Soit $a\in M$. Nous devons vérifier qu'il existe une carte de $M$ dont le domaine contient $a$ et dans laquelle l'expression locale de $\alpha$ est de classe $C^k$. Si $a\in U$, on peut prendre $(U,\varphi)$, dans laquelle cette expression locale est $\alpha_0$. Si $a\notin U$, alors $a\notin K$. Comme $K$ est compact, il est fermé (puisque la topologie de $M$ est séparée). Son complémentaire est donc ouvert: il existe une carte $(V,\psi)$ dont le domaine contient $a$ et est disjoint de $K$. L'expression locale de $\alpha$ dans cette carte est nulle.

Avec la remarque précédente, on construit facilement des fonctions ayant un comportement prescrit en $a$. En effet, En prenant $\alpha_0$ de la forme $\beta_0 f$ où $\beta _0$ est à support compact dans $\varphi(U)$, est à valeurs dans $[0,1]$ et vaut $1$ dans un voisinage de $\varphi(a)$, on obtient une fonction $\alpha$ dont l'expression locale coincide avec $f\circ\varphi$ au voisinage de $a$.

Exemple 1.3.4   Plongement d'une variété plongée dans ${\rm I\!R}^m$.

Si $V$ est une variété plongée dans ${\rm I\!R}^m$, de classe $C^k$, alors l'identité $id_V:V\to{\rm I\!R}^m$ est une application de classe $C^k$. En effet, pour tout paramétrage $(\omega,\psi)$ de $V$, l'expression locale de $id_V$ dans les cartes $(\psi^{-1}(\omega),\psi^{-1})$ et $({\rm I\!R}^m,x\mapsto x)$ est $\psi$, qui est de classe $C^k$ par hypothèse.

Exemple 1.3.5   Les homographies $h_A$.

Une application linéaire $A$ non singulière de ${\rm I\!R}^{m+1}$ dans lui-même induit une bijection $h_A$ de ${\rm I\!R}^mP$ dans lui-même. Elle transforme la droite $d$ de vecteur directeur $\xi$ en $h_A(d)={\rm I\!R}A(\xi)$. Elle est de classe $C^\infty$. Utilisons pour vérifier cela les cartes introduites dans l'exemple 1.1. En supposant, pour simplifier les notations, que $\xi^0,(A\xi)^0\neq 0$, l'expression locale $\varphi_0\circ h_A\circ\varphi_0^{-1}$ de $h_A$ dans la carte $(U_0,\varphi_0)$ est

$$(x^1,\ldots,x^m)\mapsto (\frac{A^1_0+\sum_{1\leq i\leq m}A^1_ix^i... ...frac{A^m_0+\sum_{1\leq i\leq m}A^m_ix^i}{A^0_0+\sum_{1\leq i\leq m}A^0_ix^i}).$$

Cette application n'étant définie que dans le complémentaire $\omega$ de l'hyperplan d'équation $A^0_0+\sum_{1\leq i\leq m}A^0_ix^i=0$, il faut, pour ce conformer à la définition des applications différentiables, restreindre le domaine de la carte $(U_0,\varphi_0)$ à $\varphi_0^{-1}(\omega)$.

Proposition 1.3.6   Si les applications $g:M\to N$ et $f:N\to L$ sont de classe $C^l$, alors $f\circ g:M\to L$ est de classe $C^l$.

Preuve. Soient $a\in M$, $b=g(a)$ et des cartes $(U,\varphi)$, $(V,\psi)$ et $(W,\theta)$ telles que $a\in U, b\in V$ et $f(b)\in W$. Quitte à restreindre $V$ d'abord, $U$ ensuite, nous pouvons supposer que $f(V)\subset W$ puis $g(U)\subset V$. L'expression locale de $f\circ g$ dans les cartes $(U,\varphi)$ et $(W,\theta)$ se factorise alors en applications de classe $C^l$:

$$\theta\circ( f\circ g)\circ\varphi^{-1}=(\theta\circ f\circ\psi^{-1})\circ(\psi\circ g\circ\varphi^{-1}).$$

Elle est donc de classe $C^l$. $\qedsymbol$

Nous noterons $C^l(M,N)$ l'ensemble des applications de classe $C^l$ de $M$ dans $N$. Lorsque $N={\rm I\!R}^n$, c'est un espace vectoriel sur ${\rm I\!R}$, les opérations vectorielles étant définies point par point. Lorsque $N={\rm I\!R}$, c'est même une algèbre, la multiplication étant définie également ponctuellement.

Nous appellerons courbe de $M$ (de classe $C^l$ si il faut le préciser) les éléments de $C^l(I,M)$, où $I$ est un intervalle ouvert de ${\rm I\!R}$.

Une bijection $f:M\to N$ est un difféomorphisme de classe $C^k$ si $f$ et $f^{-1}$ sont de classe $C^k$. Si $f\in C^k(M,N)$ est un difféomorphisme, alors il transforme les cartes $(U,\varphi)$ de $M$ en des cartes $(f(U),\varphi~\circ~f^{-1})$ de $N$. De plus, toutes les cartes de $N$ sont de cette forme. De ce fait, on considère généralement que, du point de vue de la géométrie différentielle, des variétés difféomorphes sont égales.