next up previous contents
suivant: 6.4 Les observables classiques monter: 6 L'algèbre de Poisson précédent: Intégrales premières des équations   Table des matières

6.3 Les champs symplectiques

D'après l'identité de Jacobi pour le crochet de Poisson, les champs hamiltoniens sont des champs $ H$ vérifiant l'égalité

% latex2html id marker 14892
$\displaystyle H.\{f,g\}=\{H.f,g\}+\{f,H.g\}, \forall f,g\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R}).$ (6.1)


Un champ de vecteurs $ H$ ayant cette propriété est dit symplectique.

Proposition 6.3.1   Un champ de vecteurs $ H$ de $ T^*M$ est symplectique si et seulement si tout point de $ T^*M$ appartient à un ouvert dans lequel il coïncide avec un champ hamiltonien.

Preuve. Exprimons la condition (19) en coordonnées canoniques. Notons $ H=\sum_i(H^i\partial_i+H_i\overline{\partial}_i)$ l'expression locale de $ H$. En prenant successivement pour $ f,g$ les fonctions $ x^i,x^j$, puis $ x^i,\xi_j$ et $ \xi_i,\xi_j$, on obtient les équations

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 14918\left\{
\begin{array}{rcl}
\ov...
...H_j\\  [1ex]
\partial_iH_j&=&\partial_jH_i.
\end{array}\right.
\end{displaymath}

Quitte à rétrécir $ U$, on peut donc trouver une primitive $ f_U$ aux fonctions $ (-H_1,\ldots,-H_m,H^1,\ldots,H^m)$, ce qui signifie que, dans $ T^*U$, le champ $ H$ coïncide avec le champ hamiltonien $ H_{f_U}$. $ \qedsymbol$

Proposition 6.3.2   Le crochet de Lie de champs symplectiques est un champ hamiltonien. En particulier, l'ensemble des champs symplectiques est une sous-algèbre de Lie de $ Vect(T^*M)$.

Preuve. Soient des champs symplectiques $ H$ et $ K$. On a vu dans le preuve précédente que si le domaine $ U$ d'une carte de $ M$ est assez petit, alors il existe des fonctions $ f_U,g_U$ de classe $ C^\infty$ dans $ T^*U$ dont $ H$ et $ K$ soient les champs hamiltoniens dans cet ouvert. Il est clair que ces fonctions sont localement déterminées à des constantes près. Il en résulte qu'il existe une fonction % latex2html id marker 14956
$ h\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})$ telle que

$\displaystyle h\vert _{T^*U}=\{f_U,g_U\}
$

quel que soit le domaine de carte $ U$ ayant les propriétés ci-dessus. On a $ [H,K]=H_h$. $ \qedsymbol$

Proposition 6.3.3   Soient un champ de vecteurs $ H$ de $ T^*M$ et $ \varphi$ son flot. Le champ $ H$ est symplectique si et seulement si

$\displaystyle \{f,g\}\circ\varphi_t=\{f\circ\varphi_t,g\circ\varphi_t\}
$

pour tout % latex2html id marker 14975
$ t\in{\rm I\!R}$ et tous % latex2html id marker 14977
$ f,g\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})$.

Preuve. Quitte à passer à des coordonnées pour effectuer les calculs, on peut vérifier que

$\displaystyle {\frac{d}{dt}{(\{f,g\}\circ\varphi_t-\{f\circ\varphi_t,g\circ\varphi_t\}}})=(H.\{f,g\}-\{H.f,g\}-\{f,H.g\})\circ\varphi_t
$

Le fait que $ H$ soit symplectique équivaut donc au fait que

$\displaystyle \{f,g\}\circ\varphi_t-\{f\circ\varphi_t,g\circ\varphi_t\}
$

est constant, c'est-à-dire nul puisqu'il s'annule en $ t=0$. $ \qedsymbol$


Les champs symplectiques génèrent donc des flots d'automorphismes (locaux) de l'algèbre de Poisson.

Concluons cette section par la proposition suivante que nous admettrons sans démonstration(6.2).

Proposition 6.3.4   Une application linéaire $ D$ est une dérivation de l'algèbre de Lie de Poisson si et seulement si il existe un champ symplectique $ H$ tel que $ D(f)=H.f$ pour tout % latex2html id marker 14999
$ f\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})$.


next up previous contents
suivant: 6.4 Les observables classiques monter: 6 L'algèbre de Poisson précédent: Intégrales premières des équations   Table des matières
2003-11-02