6.3 Les champs symplectiques

D'après l'identité de Jacobi pour le crochet de Poisson, les champs hamiltoniens sont des champs $H$ vérifiant l'égalité

$$H.\{f,g\}=\{H.f,g\}+\{f,H.g\}, \forall f,g\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R}).$$ (6.1)

Un champ de vecteurs $H$ ayant cette propriété est dit symplectique.

Proposition 6.3.1   Un champ de vecteurs $H$ de $T^*M$ est symplectique si et seulement si tout point de $T^*M$ appartient à un ouvert dans lequel il coïncide avec un champ hamiltonien.

Preuve. Exprimons la condition (19) en coordonnées canoniques. Notons $H=\sum_i(H^i\partial_i+H_i\overline{\partial}_i)$ l'expression locale de $H$. En prenant successivement pour $f,g$ les fonctions $x^i,x^j$, puis $x^i,\xi_j$ et $\xi_i,\xi_j$, on obtient les équations

$$% latex2html id marker 14918\left\{ \begin{array}{rcl} \ov... ...H_j\\ [1ex] \partial_iH_j&=&\partial_jH_i. \end{array}\right.$$

Quitte à rétrécir $U$, on peut donc trouver une primitive $f_U$ aux fonctions $(-H_1,\ldots,-H_m,H^1,\ldots,H^m)$, ce qui signifie que, dans $T^*U$, le champ $H$ coïncide avec le champ hamiltonien $H_{f_U}$. $\qedsymbol$

Proposition 6.3.2   Le crochet de Lie de champs symplectiques est un champ hamiltonien. En particulier, l'ensemble des champs symplectiques est une sous-algèbre de Lie de $Vect(T^*M)$.

Preuve. Soient des champs symplectiques $H$ et $K$. On a vu dans le preuve précédente que si le domaine $U$ d'une carte de $M$ est assez petit, alors il existe des fonctions $f_U,g_U$ de classe $C^\infty$ dans $T^*U$ dont $H$ et $K$ soient les champs hamiltoniens dans cet ouvert. Il est clair que ces fonctions sont localement déterminées à des constantes près. Il en résulte qu'il existe une fonction $h\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})$ telle que

$$h\vert _{T^*U}=\{f_U,g_U\}$$

quel que soit le domaine de carte $U$ ayant les propriétés ci-dessus. On a $[H,K]=H_h$. $\qedsymbol$

Proposition 6.3.3   Soient un champ de vecteurs $H$ de $T^*M$ et $\varphi$ son flot. Le champ $H$ est symplectique si et seulement si

$$\{f,g\}\circ\varphi_t=\{f\circ\varphi_t,g\circ\varphi_t\}$$

pour tout $t\in{\rm I\!R}$ et tous $f,g\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})$.

Preuve. Quitte à passer à des coordonnées pour effectuer les calculs, on peut vérifier que

$${\frac{d}{dt}{(\{f,g\}\circ\varphi_t-\{f\circ\varphi_t,g\circ\varphi_t\}}})=(H.\{f,g\}-\{H.f,g\}-\{f,H.g\})\circ\varphi_t$$

Le fait que $H$ soit symplectique équivaut donc au fait que

$$\{f,g\}\circ\varphi_t-\{f\circ\varphi_t,g\circ\varphi_t\}$$

est constant, c'est-à-dire nul puisqu'il s'annule en $t=0$. $\qedsymbol$

Les champs symplectiques génèrent donc des flots d'automorphismes (locaux) de l'algèbre de Poisson.

Concluons cette section par la proposition suivante que nous admettrons sans démonstration(^6.2).

Proposition 6.3.4   Une application linéaire $D$ est une dérivation de l'algèbre de Lie de Poisson si et seulement si il existe un champ symplectique $H$ tel que $D(f)=H.f$ pour tout $f\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})$.