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D'après l'identité de Jacobi pour le crochet de Poisson, les champs hamiltoniens sont des champs vérifiant l'égalité
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(6.1) |
Un champ de vecteurs ayant cette propriété est dit symplectique.
Proposition 6.3.1
Un champ de vecteurs
de
est symplectique si et seulement si tout point de
appartient à un ouvert dans lequel il coïncide avec un champ hamiltonien.
Preuve.
Exprimons la condition (
19) en coordonnées canoniques.
Notons
l'expression locale de
. En prenant successivement pour
les fonctions
, puis
et
, on obtient les équations
Quitte à rétrécir
, on peut donc trouver une primitive
aux fonctions
, ce qui signifie que, dans
, le champ
coïncide avec le champ hamiltonien
.
Proposition 6.3.2
Le crochet de Lie de champs symplectiques est un champ hamiltonien. En particulier, l'ensemble des champs symplectiques est une sous-algèbre de Lie de
.
Preuve.
Soient des champs symplectiques
et
. On a vu dans le preuve précédente que si le domaine
d'une carte de
est assez petit, alors il existe des fonctions
de classe
dans
dont
et
soient les champs hamiltoniens dans cet ouvert. Il est clair que ces fonctions sont localement déterminées à des constantes près. Il en résulte qu'il existe une fonction
telle que
quel que soit le domaine de carte
ayant les propriétés ci-dessus.
On a
.
Proposition 6.3.3
Soient un champ de vecteurs
de
et
son flot. Le champ
est symplectique si et seulement si
pour tout
et tous
.
Preuve.
Quitte à passer à des coordonnées pour effectuer les calculs, on peut vérifier que
Le fait que
soit symplectique équivaut donc au fait que
est constant, c'est-à-dire nul puisqu'il s'annule en
.
Les champs symplectiques génèrent donc des flots d'automorphismes (locaux) de l'algèbre de Poisson.
Concluons cette section par la proposition suivante que nous admettrons sans démonstration(6.2).
Proposition 6.3.4
Une application linéaire
est une dérivation de l'algèbre de Lie de Poisson si et seulement si il existe un champ symplectique
tel que
pour tout
.
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2003-11-02