6.4 Les observables classiques

On appelle parfois les fonctions sur l'espace de phases les observables classiques, classiques par oppositions aux observables quantiques qui sont généralement d'une autre nature mathématique. Dans les deux cas, mécanique classique ou quantique, il s'agit des notions mathématiques modélisant les grandeurs physiques associées à un système mécanique: énergie, position, impulsion, moments, ...

Le hamiltonien d'un système est par exemple l'observable mesurant son énergie. La composante cinétique de celle-ci est quadratique en les vitesses - ou encore en les impulsions. Plus généralement, les observables classiques sont souvent polynômiales en les variables $\xi_i$ représentant les impulsions.

Nous allons voir comment on peut caractériser les fonctions sur $T^*M$ dont les restrictions aux espaces vectoriels $T^*_xM$, $x\in M$, sont des polynômes(^6.3).