1.2.0.0.1 Avertissement

Dans la suite, sauf mention explicite du contraire, nous supposerons que les variétés sont séparées, c'est-à-dire que deux points distincts appartiennent toujours à des domaines de cartes disjoints. C'est toujours le cas de la toplogie naturelle des variétés plongées dans ${\rm I\!R}^m$. A cause de cette hypothèse, les compacts de $M$ sont fermés.

Il n'est pas difficile de vérifier que les espaces projectifs sont séparés. La vérification du caractère séparé des variétés qui seront introduites ultérieurement sera laissée à titre d'exercice.

Nous supposerons également que les variétés sont à base dénombrable. Cela signifie qu'il existe un ensemble d'ouverts qui est dénombrable et tel que tout ouvert de la variété soit union d'éléments de cet ensemble (appelé base de la topologie de la variété). Les ouverts des espaces ${\rm I\!R}^m$ sont à base dénombrable (il suffit de prendre pour base de la topologie d'un tel ouvert l'ensemble des boules ouvertes de rayon rationnel qui lui sont incluses). Il en résulte immédiatement qu'une variété définie par un atlas fini ou dénombrable est à base dénombrable. Inversement, une variété à base dénombrable admet un atlas dénombrable. Cela résulte du théorème de Lindelöf(^1.5). A l'aide de ces faits, il sera facile par la suite de vérifier, à titre d'exercice, que les variétés introduites ultérieurement sont à base dénombrable.

Une des conséquences du fait qu'une variété est à base dénombrable est l'existence de partitions de l'unité, notion introduite à la fin de la Section 4.