Atlas

Désignons par $k$ un entier positif ou $\infty$. Deux cartes $(U,\varphi)$ et $(V,\psi)$ de $M$, de dimensions respectives $m$ et $n$, sont $k$-compatibles si $U\cap V=\emptyset$ ou si $U\cap V\neq\emptyset$ et

• $\varphi(U\cap V)$ est un ouvert de ${\rm I\!R}^m$
  
• $\psi(U\cap V)$ est un ouvert de ${\rm I\!R}^n$
  
• $\psi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap V)\to\psi(U\cap V)$ est un difféomorphisme de classe $C^k$ (^1.1)

Observons que des cartes compatibles dont les domaines ne sont pas disjoints ont même dimension. En effet, avec les notations de la définition ci-dessus, la différentielle du changement de coordonnées locales,

$$(\psi\circ\varphi^{-1})_*: {\rm I\!R}^m\to{\rm I\!R}^n,$$

est une application linéaire non singulière, ce qui implique que $m$ soit égal à $n$, tous deux valant le rang de cette application.

La remarque suivante est fort utile. Elle est par ailleurs immédiate.

Remarque 1.1.3   Si $(U,\varphi)$ est une carte de $M$ et si $\omega$ est un ouvert de $\varphi(U)$, alors $(\varphi^{-1}(\omega),\varphi)$ est aussi une carte de $M$. Elle est $\infty$-compatible avec $(U,\varphi)$.

Un $k$-atlas de $M$ est un ensemble de cartes $k$-compatibles de $M$ dont les domaines recouvrent $M$.

A titre d'exemple, on vérifie sans difficulté que les cartes $(U_i,\varphi_i)$ de ${\rm I\!R}^m P$ sont deux à deux $\infty$-compatibles. Elles forment donc un atlas de ${\rm I\!R}^m P$. De même, si $\Sigma$ est une variété plongée dans ${\rm I\!R}^m$, de classe $C^k$, les cartes qu'on déduit (cf. l'exemple 1.2) de ses paramétrages locaux sont deux à deux $k$-compatibles et forment un atlas de $\Sigma$.