Flot des champs hamiltoniens

En coordonnées canoniques, l'expression locale d'une courbe intégrale de $H_f$ est solution du système d'équations différentielles

$$% latex2html id marker 14744\left\{ \begin{array}{rcl} \fr... ...t}&=&-\frac{\partial f }{\partial x^i}\cdot \end{array}\right.$$

On reconnaît dans ce système celui des équations de Hamilton donnant la trajectoire dans l'espace de phases d'un système de points matériels de hamiltonien $f$. Les coordonnées $x^i$ décrivent les positions tandis que les coordonnées $\xi_i$ décrivent les impulsions. On voit ainsi que les variétés symplectiques fournissent le cadre géométrique dans lequel on peut développer le formalisme hamiltonien de la mécanique classique(^6.1). Nous allons illustrer ceci en décrivant davantage de propriétés des champs hamiltoniens. Un lemme sera nécessaire.

Lemme 6.1.2   Soient $H\in Vect(T^*M), X\in Vect(M)$ et une fonction $f\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})$. On a

$$H_f.\tilde{X}=-H_{\tilde{X}}.f$$

et

$$[H_{\tilde{X}},H_f]=H_{H_{\tilde{X}}.f}=-H_{H_f.\tilde{X}}.$$

Preuve. Pour la première relation on écrit

$$H_f.\tilde{X}=H_f^\flat(X^c)=-X^c.f=-H_{\tilde{X}}.f.$$

Pour la seconde on a, en tenant compte de la première,

$$% latex2html id marker 14768\begin{array}{rcl} [H_{\tilde{... ...\tilde{X}}.\tilde{Y}=H_{H_{\tilde{X}}.f}.\tilde{Y}. \end{array}$$

D'où la conclusion puisque le champ $Y$ est arbitraire. $\qedsymbol$