Preuve.
En coordonnées canoniques,
est donné par l'application linéaire
Par conséquent,
ce qui démontre que
est antisymétrique et non dégénéré. En outre, nous constatons que
ses coefficients sont constants puisque la matrice représentant cette forme dans la base des
est
Voici comment nous allons faire pour vérifier l'identité (
15). Posons d'abord, pour alléger les écritures,
Nous allons alors montrer que pour toute fonction
de classe
sur
(
5.6), à valeurs dans
,
|
(5.5) |
quels que soient
. En développant les champs de vecteurs
selon la base locale des
associée à une carte canonique, il en résulte que
est, dans
, une combinaison linéaire des fonctions
|
(5.6) |
où nous avons posé
Nous montrerons que ces fonctions sont nulles, prouvant ainsi (
15).
En fait, (16) résulte facilement d'un calcul direct utilisant l'identité 1.3.
Par ailleurs, pour s'assurer de ce que (17) est nul, on note que les champs
commutent deux à deux et que les coefficents
sont constants.
Preuve.
La démonstration est analogue à celle que nous avons appliquée à (
15). On pose
Un calcul direct ne présentant aucune difficulté montre que
pour tout
. On est donc ramené à établir (
18) lorsque
et
décrivent les éléments d'une base locale associée à des coordonnées canoniques, ce qui est immédiat (ne pas oublier que ces champs commutent deux à deux). Par exemple