5.4 La forme symplectique de $T^*M$

On appelle ainsi l'application qui à tout $\xi\in T^*M$ associe la forme bilinéaire

$$\omega^M_\xi:(A,B)\in T_\xi T^*M\times T_\xi T^*M\mapsto \omega^M_\xi(A,B)=A^\flat(B)\in {\rm I\!R}$$

sur $T_\xi T^*M$.

Théorème 5.4.1   Pour tout $\xi\in TM$, la forme bilinéaire $\omega^M_\xi$ est antisymétrique et non dégénérée. De plus, pour tout $H,K,L\in Vect(T^*M)$, on a

$$\oint_{HKL}H.\omega^M_\xi(K,L)=\oint_{HKL}\omega^M_\xi([H,K],L)(\footnotemark ).$$ (5.4) ^5.5

Preuve. En coordonnées canoniques, $\flat_\xi$ est donné par l'application linéaire

$$(A^1,\ldots,A^m,A_1,\ldots,A_m)\mapsto (A_1,\ldots,A_m,-A^1,\ldots,-A^m).$$

Par conséquent,

$$\omega^M_\xi(A,B)=\sum_i(A_iB^i-A^iB_i)$$

ce qui démontre que $\omega^M_\xi$ est antisymétrique et non dégénéré. En outre, nous constatons que ses coefficients sont constants puisque la matrice représentant cette forme dans la base des $\partial_i,\overline{\partial}_j$ est

$$% latex2html id marker 14575\left( \begin{array}{cc} 0&\-1\\ {\bf 1}&0 \end{array}\right)\cdot$$

Voici comment nous allons faire pour vérifier l'identité (15). Posons d'abord, pour alléger les écritures,

$$\varpi_\xi(H,K,L)=\oint_{HKL}\{H_\xi.\omega^M(K,L)-\omega^M_\xi([H,K],L)\}.$$

Nous allons alors montrer que pour toute fonction $f$ de classe $C^\infty$ sur $T^*M$(^5.6), à valeurs dans ${\rm I\!R}$,

$$\varpi(fH,K,L)=\varpi(H,fK,L)=\varpi(H,K,fL)=f\varpi(H,K,L)$$ (5.5)

quels que soient $H,K,L\in Vect(T^*M)$. En développant les champs de vecteurs $H,K,L$ selon la base locale des $\partial_i,\overline{\partial}_j$ associée à une carte canonique, il en résulte que $\varpi(H,K,L)$ est, dans $T^*U$, une combinaison linéaire des fonctions

$$\varpi(\frac{\partial}{\partial z^i},\frac{\partial}{\partial z^j},\frac{\partial}{\partial z^k})$$ (5.6)

où nous avons posé

$$(z^1,\ldots,z^{2m})=(x^1,\ldots,x^m,\xi_1,\ldots,\xi_m).$$

Nous montrerons que ces fonctions sont nulles, prouvant ainsi (15).

En fait, (16) résulte facilement d'un calcul direct utilisant l'identité 1.3.

Par ailleurs, pour s'assurer de ce que (17) est nul, on note que les champs $\partial/\partial z^i$ commutent deux à deux et que les coefficents

$$\omega^M(\frac{\partial}{\partial z^i},\frac{\partial}{\partial z^j})$$

sont constants. $\qedsymbol$

La forme symplectique est liée à une $1$-forme particulière de $T^*M$, la forme de Liouville $\alpha^M$. Celle-ci est défnie par

$$\alpha^M_\xi(A)=\xi(\pi_{M*}A), \forall A\in T_\xi T^*M.$$

En coordonnées canoniques(^5.7),

$$\alpha^M_\xi(\sum_i(A^i\partial_i+A_i\overline{\partial}_i))=\sum_i\xi_iA^i.$$

Proposition 5.4.2   Pour tout $H, K\in Vect(T^*M)$, on a

$$\omega^M(H,K)=H.\alpha^M(K)-K.\alpha^M(H)-\alpha^M([H,K]).$$ (5.7)

Preuve. La démonstration est analogue à celle que nous avons appliquée à (15). On pose

$$\vartheta(H,K)=H.\alpha^M(K)-K.\alpha^M(H)-\alpha^M([H,K]).$$

Un calcul direct ne présentant aucune difficulté montre que $\vartheta(fH,K)=\vartheta(H,fK)=f\vartheta(H,K)$ pour tout $f\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R}^m)$. On est donc ramené à établir (18) lorsque $H$ et $K$ décrivent les éléments d'une base locale associée à des coordonnées canoniques, ce qui est immédiat (ne pas oublier que ces champs commutent deux à deux). Par exemple

$$\vartheta(\partial_i,\overline{\partial}_j)=-\overline{\partial}_j\xi_i=-\delta_{ij}=-\omega^M(\partial_i,\overline{\partial}_j).$$

$\qedsymbol$

On pourrait déduire (15) de (18) par un calcul purement formel(^5.8).