3.2 Courbes intégrales et flot

Une courbe intégrale d'un champ de vecteurs $X$ de $M$ est une courbe $(I,\gamma)$ de $M$ telle que

$$\dot{\gamma}(t)=X(\gamma(t)), \forall t\in I.$$ (3.3)

Elle est maximale si, pour toute courbe intégrale $(J,\delta)$ de $X$, $I\subset J$ entraîne $I=J$ et $\gamma=\delta$(^3.4).

En coordonnées locales, la condition (9) se traduit par un système d'équations différentielles ordinaires autonomes. De fait, si $u(t)$ est l'expression locale $\varphi\circ \gamma(t)$ de $\gamma$ dans une carte $(U,\varphi)$, alors

$${\frac{d}{dt}{u^i}}=\dot{\gamma}.x^i=X(\gamma).x^i=X^i(u^1(t),\ldots,u^m(t))$$

où, comme d'habitude, on note $X^i$ les composantes de l'expression locale de $X$ dans cette carte.

Les propriétés des courbes intégrales d'un champs de vecteurs se déduisent alors de celles des solutions d'un tel système. Nous n'entrerons pas dans les détails. Signalons cependant les faits suivants qui en résultent facilement, avant d'étudier plus avant les courbes maximales. Notons aussi que le fait que la topologie de $M$ est séparée est important pour les résultats énoncés ci-dessous.

• Pour tout $a\in M$ et tout $t_0\in{\rm I\!R}$, il existe un ouvert $\omega$ de $M$ contenant $a$ et $\epsilon > 0$ pour lesquels si $x\in\omega$, alors $X$ admet une unique courbe intégrale définie dans $]t_0-\epsilon,t_0+\epsilon[$ et passant par $x$ en $t_0$.

  
  

• Si des courbes intégrales de $X$ définies dans des intervalle $I$ et $J$ coïncident en un point de $I\cap J$ alors elles sont égales dans $I\cap J$.

Ces deux propriétés permmettent de vérifier que pour tout $x$, $X$ possède une unique courbe intégrale maximale passant par $x$ en $t=0$. On la note $(\Omega_x,\varphi_t(x))$ et, pour $t$ fixé, on désigne par $\Omega_t$ l'ensemble des $x\in M$ pour lesquels $t\in \Omega_x$. Nous acceptons la proposition suivante sans démonstration.

Proposition 3.2.1   L'ensemble

$$\Omega=\bigcup_{x\in M} \Omega_x\times\{x\}$$

est un ouvert de ${\rm I\!R}\times M$. Si $x\in\Omega_t$, alors

$$\varphi_t(x)\in\Omega_s \Leftrightarrow x\in\Omega_{s+t}$$

et, lorsqu'une de ces conditions est vérifiée,

$$\varphi_s(\varphi_t(x))=\varphi_{s+t}(x).$$

En particulier, pour chaque $t$, $\Omega_t$ est un ouvert de $M$ et $\varphi_t$ est un difféomorphisme de $\Omega_t$ sur $\Omega_{-t}$, d'inverse $\varphi_{-t}$.

L'application $(t,x)\in\Omega\mapsto \varphi_t(x)\in M$ s'appelle le flot de $X$. Quand son domaine de définition est ${\rm I\!R}\times M$ tout entier, on dit de $X$ que c'est un champ de vecteurs complet. On peut montrer que si $M$ est compact, alors tous ses champs de vecteurs sont complets(^3.5).

Exemple 3.2.2   Le flot des champs invariants à gauche sur un groupe.

Le flot du champ $H^*:A\mapsto AH$ est l'application

$$(t,A)\in {\rm I\!R}\times G\mapsto Ae^{tH}\in G.$$

En effet, les notations étant celles de l'exemple 0.3, on sait(^3.6) que si $H\in {\mathcal G}=T_{\bf 1}G$, alors l'exponentielle de $H$ appartient à $G$. La courbe $t\mapsto Ae^{tH}$ est donc tracée sur $G$. Par ailleurs

$${\frac{d}{dt}{Ae^{tH}}}=A{\frac{d}{dt}{e^{tH}}}=Ae^{tH}H=H^*(Ae^{tH}).$$

C'est donc bien une courbe intégrale de $H^*$. Définie sur ${\rm I\!R}$, elle est forcément maximale. Elle passe par $A$ en $t=0$. D'où la conclusion.