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2.3 Quelques remarques en vrac

Voici quelques remarques qui résultent plus ou moins immédiatement des définitions et résultats précédent.

Remarque 2.3.1   Si % latex2html id marker 11854
$ {\bf h}=\dot{\gamma}(s)$ alors % latex2html id marker 11856
$ f_{*a}{\bf h}$ est le vecteur tangent en $ s$ à la courbe $ f\circ\gamma$ de $ N$.

En effet,

% latex2html id marker 11864
$\displaystyle f_{*a}{\bf h}.g={\bf h}.(g\circ f)={...
...d}{dt}{((g\circ f)\circ\gamma)}}(s)={\frac{d}{dt}{(g\circ(f\circ\gamma))}}(s).
$


De là, il résulte que

Remarque 2.3.2   si $ (U,\varphi)$ et $ (V,\psi)$ sont des cartes de $ M$ et de $ N$ telles que $ a\in U$ et $ f(U)\subset V$, alors l'expression locale de $ f_{*a}$ est $ (\psi\circ f\circ\varphi^{-1})_{*\varphi(a)}$(2.4).

En effet, on a vu plus haut que les composantes de l'expression locale de % latex2html id marker 11893
$ {\bf h}=\dot{\gamma(s)}$ dans la carte $ (U,\varphi)$ sont les $ h^i={\frac{d}{dt}{(\varphi^i\circ\gamma)}}(s)$. Celles de l'expression locale de % latex2html id marker 11899
$ f_{*a}{\bf h}$ dans la carte $ (V,\psi)$ sont donc les composantes de la dérivée de $ \psi\circ (f\circ\gamma)=(\psi\circ f\circ \varphi^{-1})\circ(\varphi\circ\gamma)$ en $ t=s$. Il s'agit donc bien de la dérivée de $ \psi\circ f\circ\varphi^{-1}$ dans la direction de $ (h^1,\ldots,h^m)$.

Remarque 2.3.3   Espace tangent aux variétés plongées.

Nous avons observé plus haut qu'une variété $ V$ plongée dans % latex2html id marker 11914
$ {\rm I\!R}^m$ est également une variété au sens abstrait introduit dans ces notes. Nous avons en particulier vu, dans l'exemple [*], que l'identité % latex2html id marker 11916
$ i_V:V\to{\rm I\!R}^m$ est de même classe que $ V$. Par conséquent, si % latex2html id marker 11920
$ {\bf h}=\dot{\gamma}(s)\in T_aV$, alors % latex2html id marker 11922
$ {i_V}_{*a}{\bf h}$ est le vecteur tangent à la courbe $ i_V\circ\gamma=\gamma$ de % latex2html id marker 11926
$ {\rm I\!R}^m$ lequel est, par définition, un élément de $ \overrightarrow{T_aV}$. On a donc $ {i_V}_{*a}T_aV=\overrightarrow{T_aV}$. Les dimensions de $ T_aV$ et de $ \overrightarrow{T_aV}$ étant égales, il en résulte que $ {i_V}_{*a}$ est effectivement une bijection.

Remarque 2.3.4   Vecteurs tangents et fonctions définies dans un ouverts.

Soit % latex2html id marker 11939
$ {\bf h}\in T_aM$. Si deux fonctions $ f$ et $ f'$ coïncident dans un ouvert contenant $ a$, alors il résulte immédiatement de la formule (4) du théorème 1.1 que % latex2html id marker 11947
$ {\bf h}.f={\bf h}.f'$. On peut donc étendre % latex2html id marker 11949
$ {\bf h}$ aux fonctions qui sont de classe $ C^\infty$ dans un ouvert $ \omega$ de $ M$ contenant $ a$ en posant, pour tout % latex2html id marker 11959
$ f\in C^\infty(\omega,{\rm I\!R})$, % latex2html id marker 11961
$ {\bf h}.f={\bf h}.\hat{f}$, où la fonction $ \hat{f}$ de classe $ C^\infty$ dans $ M$ coïncide avec $ f$ dans un voisinage de $ a$. En particulier, considérant $ \omega$ muni de la structure de variété dont il hérite de $ M$(2.5), on écrira en conséquence $ T_a\omega=T_aM$. Nous utiliserons librement cette égalité dans la suite.

Remarque 2.3.5   Si $ (U,\varphi)$ est une carte de $ M$, alors $ \varphi:U\to\varphi(U)$ est un difféomorphisme et son application linéaire tangente en $ a\in U$ coïncide avec l'application notée $ \varphi_{*a}$ au point c) du théorème 1.1.

C'est immédiat.

Remarque 2.3.6   Si $ (U,\varphi)$ est une carte de $ M$, alors les vecteurs

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x^i} =\varphi_{*a}^{-1}\overrightarrow{e_i},\ i=1,\ldots,m,
$

constituent une base de $ T_aM$ en tout point $ a$ de $ U$(2.6). En particulier, si l'expression locale de % latex2html id marker 12025
$ {\bf h}\in T_aM$ est $ (h^1,\ldots,h^m)$, alors on peut écrire

% latex2html id marker 12029
$\displaystyle {\bf h}=\sum_ih^i\partial_i.
$

Par exemple, si $ M$ est une variété plongée dans % latex2html id marker 12033
$ {\rm I\!R}^m$ et si $ (\omega,\psi)$ en est un paramétrage, les champs $ \partial_i$ associés à la carte $ (U=\psi(\omega),\varphi=\psi^{-1})$ sont les champs $ \partial_1\psi,\ldots,\partial_p\psi$.

On a déjà observé que % latex2html id marker 12043
$ h^i={\bf h}.x^i$, où $ x^i$ désigne la $ i$-ème coordonnée locale. La notation ci-dessus est en parfait accord avec cela puisque tout se passe formellement comme si les applications % latex2html id marker 12049
$ x^j:U\to{\rm I\!R}$ et % latex2html id marker 12051
$ \partial_j: C^\infty(M,{\rm I\!R})\to{\rm I\!R}$ représentaient les variables ordinaires dans % latex2html id marker 12053
$ {\rm I\!R}^m$ et les dérivéees partielles par rapport à celles-ci. En effet, à l'instar de ces dernières, ces applications vérifient les égalités

$\displaystyle \partial_i.x^j=\delta_i^j, \ \forall i,j.(\footnotemark )
$

Dans % latex2html id marker 12063
$ {\rm I\!R}^m$ rapporté à la carte canonique % latex2html id marker 12065
$ ({\rm I\!R}^m,id)$, on a $ \partial_i=\overrightarrow{e_i}$.


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2003-11-02