Dérivations d'une algèbre

Voici quelques rappels préalables relatifs à cette notion. Considérons une algèbre ${\mathcal A}$ réelle, c'est-à-dire un espace vectoriel sur ${\rm I\!R}$ muni d'une application bilinéaire $(a,b)\in {\mathcal A}\times{\mathcal A}\mapsto ab\in {\mathcal A}$, la multiplication de ${\mathcal A}$.

Une dérivation de ${\mathcal A}$ est une application linéaire $D:{\mathcal A}\to{\mathcal A}$ telle que

$$D(ab)=D(a)b+aD(b),\forall a,b\in {\mathcal A}.$$

Il est clair que la somme $D+D':a\mapsto D(a)+D'(a)$ de dérivations de ${\mathcal A}$ est une dérivation de ${\mathcal A}$, de même que le produit $rD:a\mapsto rD(a)$ d'une dérivation par un scalaire $r$. L'ensemble $der {\mathcal A}$ des dérivations de ${\mathcal A}$ est donc un espace vectoriel. De plus, un calcul immédiat montre que le commutateur $[D,D']=D\circ D'-D'\circ D$ de dérivations est aussi une dérivation. Il est clair que $[\ ,\ ]:{\mathcal A}\times{\mathcal A}\to{\mathcal A}$ est antisymétrique. On voit facilement qu'il vérifie l'identité de Jacobi

$$[D,[D',D'']]+[D',[D'',D]]+[D'',[D,D']]=0, \forall D,D',D''\in der{\mathcal A}.$$

Muni de cette application, $der {\mathcal A}$ est donc une algèbre de Lie.

Théorème 3.1.2   L'application qui associe à $X\in Vect(M)$ la dérivation

$$D_X:f \mapsto X.f: x\mapsto X(x).f$$

de $C^\infty(M,{\rm I\!R})$ est une bijection linéaire de $Vect(M)$ sur $der\ C^\infty(M,{\rm I\!R})$.

Preuve. La démonstration n'est pas difficile mais un peu longue, à cause des petits détails qu'il faut vérifier. Voici les étapes: - vérifier que $D_X$ est une dérivation, - vérifier que $X\to D_X$ est injectif, - vérifier qu'il est surjectif.

i)Pour chaque $X$, $D_X$ est une dérivation. La fonction $X.f$ est de classe $C^\infty$ car, dans toute carte $(U,\varphi)$ de $M$, on a, d'après (4),

$$(X.f)(x)=\sum_i X^i(\varphi(x))\partial_i(f\circ\varphi^{-1})(\varphi(x)), \forall x\in U.$$

Ainsi, $D_X$ est bien une application de $C^\infty(M,{\rm I\!R})$ dans lui-même. Il est clair qu'elle est linéaire. De plus, pour tout $x\in M$,

$$% latex2html id marker 12663\begin{array}{rcl} D_X(fg)(x)&... ...x).f)g(x)+f(x)(X(x).g)\\ &=&(D_X(f)g+fD_X(g))(x). \end{array}$$

C'est donc bien une dérivation.

ii)L'application $X\mapsto D_X$ est injective. Si $D_X=D_Y$, alors $X.f=Y.f$ pour tout $f$. Dès lors, étant donné $a\in M$, $X_a.f=Y_a.f$ pour tout $f$. Les $a$-dérivations $X_a$ et $Y_a$ sont ainsi égales pour tout $a\in M$. Donc $X=Y$.

iii)L'application $X\mapsto D_X$ est surjective. Soit une dérivation $D$ de $C^\infty(M,{\rm I\!R})$. Pour chaque $x\in M$, on obtient un vecteur tangent $X(x)\in T_xM$ en posant

$$X(x).f=D(f)(x), \forall f\in C^\infty(M,{\rm I\!R}).$$

En effet,

$$% latex2html id marker 12701\begin{array}{rcl} X(x).(fg)=D... ...)g(x)+f(x)D(g)(x)\\ &=&(X(x).f)g(x)+f(x)(X(x).g). \end{array}$$

On obtient donc une application $X:M\to TM$ telle que $\pi_M\circ X=id_M$. Il faut encore vérifier qu'elle est de classe $C^\infty$ pour conclure. Ceci peut se faire en prenant des fonctions $f^i$ qui coïncident avec $x\mapsto x^i$ au voisinage d'un point arbitraire $a$ de $M$: dans ce voisinage, la composante $X^i$ de $X$ vaut $D(f^i)$. elle est donc bien indéfiniment continûment dérivable. $\qedsymbol$

Le théorème précédent nous donne l'essentiel des propriétés de $Vect(M)$: c'est une algèbre de Lie, dont le crochet de Lie est défini par le commutateur d'applications linéaires. Voici résumées les principales opérations ainsi définies sur $Vect(M)$.

• somme:
  $$(X+Y)(x)=X(x)+Y(x)$$

• multiplication par un scalaire:
  $$(rX)(x)=rX(x)$$

• crochet de Lie:
  $$[X,Y](x).f=X(x).(Y.f)-Y(x).(X.f)$$

Les composantes de $[X,Y]$ dans une carte s'expriment au moyen de celles de $X$ et de $Y$ par la formule

$$[X,Y]^i=\sum_j(X^j\partial_jY^i-Y^j\partial_jX^i).$$ (3.2)

Voici comment on peut par exemple vérifier cette égalité:

$$% latex2html id marker 12741\begin{array}{rcl} [X,Y]^i&=&[... ... [1ex] &=&\sum_j(X^j\partial Y^i-Y^j\partial X^i), \end{array}$$

vu (4).

En utilisant par exemple l'expression locale de $[X,Y]$, on voit immédiatement que

Proposition 3.1.3   Quels que soient $X,Y\in Vect(M)$ et $f\in C^\infty(M,{\rm I\!R})$,

$$[X,fY]=f[X,Y]+(X.f)Y.$$

Nous verifierons plus loin que pour les champs invariants à gauche d'un groupe,

$$[H^*,K^*]=[H,K]^*,$$

où $[H,K]=HK-KH$ est le commutateur des matrices $H$ et $K$.