Polynômes sur $T^*M$

Soit un espace vectoriel $E$ de dimension finie, $m$. Rappelons qu'une fonction $f:E\to {\rm I\!R}$ est un polynôme sur $E$ s'il existe une base de $E$ dans laquelle $f({\bf u})$ est un polynôme en les composantes de ${\bf u}\in E$ selon cette base. Le changement de base étant linéaire en les composantes, cette condition est indépendante de la base choisie. De plus, le degré du polynôme est également indépendant de celle-ci, de même que le fait qu'il soit homogène ou non. Par exemple, les polynômes homogènes de degré 0 sont les constantes tandis que ceux de degré $1$ sont les applications linéaires de $E$ dans ${\rm I\!R}$, c'est-à-dire les éléments du $E^*$.

Nous dirons qu'une application sur $T^*M$ est un polynôme de degré $k$ si ses restrictions aux espaces vectoriels $T^*_xM$, $x\in M$, sont des polynômes de degré $k$. Nous noterons $S^k(M)$ l'espace de celles qui sont homogènes de degré $k$. L'espace des polynômes sur $T^*M$ est alors

$$S(M)=\bigoplus_{k\in {\rm I\!N}}S^k(M).$$

Théorème 6.4.2   L'ensemble des valeurs propres de l'application linéaire

$$L_{\mathcal E}:f\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})\mapsto {\mathcal E}.f\in C^\infty(T^*M,{\rm I\!R})$$

est ${\rm I\!N}$. L'espace propre de valeur propre $k\in {\rm I\!N}$ de $L_{\mathcal E}$ est $S^k(M)$.

Preuve. Plaçons nous en coordonnées canoniques et identifions les éléments propres de $L_{\mathcal E}$ dans le domaine $T^*U$ de celles-ci. Dans la mesure où les coordonnées $x^i$ jouent un rôle secondaire dans le problème, l'expression locale $f(x^1,\ldots,x^m,\xi_1,\ldots,\xi_m)$ d'une fonction $f$ sera abrégée en $f(\xi)$ pour alléger les notations. La condition pour que $f$ soit un vecteur propre de valeur propre $\lambda$ de $L_{\mathcal E}$ est

$$\sum_i\xi_i\overline{\partial}_if=\lambda f.$$

a) Ceci permet déjà de voir que les polynômes homogènes de degré $k$ en les $\xi_i$ sont des vecteurs propres de valeur propre $k$. En effet, pour un tel polynôme $f$ on a $f(t\xi)=t^kf(\xi)$ de sorte que

$$\sum_i\xi_i\overline{\partial}_if={\frac{d}{dt}{f(t\xi)}}\vert _{t=1}={\frac{d}{dt}{t^kf(\xi)}}\vert _{t=1}=kf(\xi).$$

b) Supposons que f soit un vecteur propre de valeur propre $\lambda$. On a alors

$${\frac{d}{dt}{f(t\xi)}}=\sum_i\xi_i\overline{\partial}_if(t\xi)=\frac{\lambda}{t}f(t\xi), \ \forall t>0.$$

On a aussi

$${\frac{d}{dt}{(t^\lambda f(\xi))}}=\frac{\lambda}{t}(t^\lambda f(\xi)), \ \forall t>0.$$

Au total,

$$f(t\xi)=t^\lambda f(\xi),\forall t>0,$$ (6.2)

car les deux membres sont tous deux solutions de l'équation différentielle

$${\frac{d}{dt}{u}}=\frac{\lambda}{t}u, \ \forall t >0, \ u(1)=f(\xi).$$

Cela étant si $\lambda$ est un entier positif ou nul $k$, alors en dérivant (20) $k$ fois par rapport à $t$ puis en passant à la limite en $t=0$, on obtient

$$f(\xi)=\frac 1 {k!} \sum_{i_1,...,i_k}\xi_{i_1}\cdots\xi_{i_k}(\overline{\partial}_{i_1}\cdots\overline{\partial}_{i_k}f)(0)$$

ce qui montre que $f$ est bien un polynôme homogène de degré $k$. Par contre, lorsque $\lambda$ n'est pas un entier positif ou nul alors $f=0$ car si $f(\xi)$ n'était pas nul, les dérivées de tout ordre de

$$t^\lambda=f(t\xi)/f(\xi)$$

par rapport à $t$ admettraient une limite lorsque $t$ tend vers 0 par valeurs positives, ce qui n'est pas le cas. $\qedsymbol$

Corollaire 6.4.3   L'espace $S(M)$ est une sous-algèbre de Lie de l'algèbre de Poisson. Plus précisément,

$$\{S^k(M),S^l(M)\}\subset S^{k+l-1}(M).$$

Preuve. Cela résulte immédiatement du théorème ci-dessus et du point c) de la proposition 4.1. $\qedsymbol$

Voici une interprétation des espaces propres de valeurs propre 0 et $1$ de $L_{\mathcal E}$. Dans la démonstration, on utilise la notation $\iota_M$. Celle-ci désigne la section nulle de $T^*M$, c'est-à-dire l'application $\iota_M:M\to T^*M$ qui associe à chaque $x\in M$ l'élément nul de de $T^*_xM$. Elle est de classe $C^\infty$ car son expression locale en coordonnées canoniques est

$$(x^1,\ldots,x^m)\mapsto (x^1,\ldots,x^m,0,\ldots,0).$$

Proposition 6.4.4   a) $S^0(M)=\{u\circ\pi_M\vert u\in C^\infty(M,{\rm I\!R})\}$.
b) $S^1(M)=\{\tilde{X}\vert X\in Vect(M)\}$.

Preuve. a) On a

$$L_{\mathcal E}(u\circ \pi_M)=(\pi_M^*{\mathcal E}).u=0$$

car $\pi_M^*{\mathcal E}=0$ comme on le voit facilement avec la définition de ${\mathcal E}$. Donc $u\circ \pi_M\in S^0(M)$. D'autre part, si $L_{\mathcal E}(f)=0$, alors $f(e^t\xi)$ ne dépend pas de $t$. Donc

$$f(\xi)=\lim_{t\to -\infty}f(e^t\xi)=f(0)=u\circ\pi_M(\xi),$$

où

$$u=f\circ \iota_M\in C^\infty(M,{\rm I\!R}).$$

b) Pour tout $\xi\in T^*_xM$, on a

$${\mathcal E}_\xi.\tilde{X}={\frac{d}{dt}{(e^t\xi)(X_x)}}\vert _{t=0}=\xi(X_x)=\tilde{X}(\xi).$$

Donc $\tilde{X}\in S^1(M)$. Inversement, supposons que $f\in S^1(M)$, alors, pour tout $u\in C^\infty(M)$, $\{f,u\circ \pi_M\}\in S^0(M)$. Il existe donc une application linéaire $D$ de $C^\infty(M,{\rm I\!R})$ dans lui-même telle que(^6.4)

$$D(u)\circ \pi_M= \{f,u\circ\pi_M\}$$

En appliquant d) de la proprosition 2.1, on voit que $D$ est une dérivation de $C^\infty(M,{\rm I\!R})$. On a donc $D(u)=X.u$ pour un certain champ de vecteurs $X$ de $M$. Passons en coordonnées canoniques. Puisque $f$ est un polynôme du premier degré, il s'écrit

$$f(\xi)=\sum_if^i(x)\xi_i.$$

Dès lors,

$$D(u)(x)=\sum_iX^i(x)\partial_iu=\{f,u\circ\pi_M\}(0_x)=\sum_if^i(x)\partial_iu.$$

Comme $u$ est arbitraire, on en déduit que $X^i=f^i$ pour tout $i$ et donc que $f=\tilde{X}$. $\qedsymbol$