Bases duales

Lorsque $E$ est de dimension finie, $E^*$ l'est aussi et il existe une liaison naturelle entre les bases de $E$ et celles de $E^*$. Soit une base $(e_1,\ldots,e_m)$ de $E$. On pose

$$\epsilon^i: x=\sum_{j=1}^mx^je_j\in E\mapsto \epsilon^i(x)=x^i.$$

Les éléments $\epsilon^1,\ldots,\epsilon^m$ de $E^*$ forment une base de $E^*$, appelée base duale de la base $(e_1,\ldots,e_m)$ de $E$(^4.1). En effet, ils engendrent $E^*$ puisque si $\xi\in E^*$, alors

$$\xi(x)=\sum_j\xi(e_j)x^j=(\sum_j\xi(e_j)\epsilon^j)(x), \forall x\in E.$$

(Notons au passage que la composante de $\xi$ selon $\epsilon^j$ est $\xi(e_j)$.) Ils sont linéairement indépendants car si

$$a=\sum_ja_j\epsilon^j=0$$

alors $a_i=a(e_i)=0$ pour tout $i$.

Soient une base $(f_1,\ldots,f_n)$ de $F$ et la base duale associée $(\phi^1,\ldots,\phi^n)$. Si l'application linéaire $A:E\to F$ est représentée par la matrice $(A^i_j=(\phi^i\circ A)(e_j))$ dans les bases $(e_1,\ldots,e_m)$ et $(f_1,\ldots,f_n)$, en sorte que

$$A(\sum_jx^je_j)=\sum_i(\sum_jA^i_jx^j)f_i,$$

alors $A^*$ l'est par la matrice transposée dans les bases duales(^4.2). En effet, si $\eta=\sum\eta_i\phi^i$, alors, pour tout $x\in E$,

$$% latex2html id marker 13968\begin{array}{rcl} (A^*(\sum_i... ... [1ex] &=&(\sum_j(\sum_iA^i_j\eta_i)\epsilon^j)(x). \end{array}$$