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Bases duales

Lorsque $ E$ est de dimension finie, $ E^*$ l'est aussi et il existe une liaison naturelle entre les bases de $ E$ et celles de $ E^*$. Soit une base $ (e_1,\ldots,e_m)$ de $ E$. On pose

$\displaystyle \epsilon^i: x=\sum_{j=1}^mx^je_j\in E\mapsto \epsilon^i(x)=x^i.
$

Les éléments $ \epsilon^1,\ldots,\epsilon^m$ de $ E^*$ forment une base de $ E^*$, appelée base duale de la base $ (e_1,\ldots,e_m)$ de $ E$(4.1). En effet, ils engendrent $ E^*$ puisque si $ \xi\in E^*$, alors

$\displaystyle \xi(x)=\sum_j\xi(e_j)x^j=(\sum_j\xi(e_j)\epsilon^j)(x), \forall x\in E.
$

(Notons au passage que la composante de $ \xi$ selon $ \epsilon^j$ est $ \xi(e_j)$.) Ils sont linéairement indépendants car si

$\displaystyle a=\sum_ja_j\epsilon^j=0
$

alors $ a_i=a(e_i)=0$ pour tout $ i$.

Soient une base $ (f_1,\ldots,f_n)$ de $ F$ et la base duale associée $ (\phi^1,\ldots,\phi^n)$. Si l'application linéaire $ A:E\to F$ est représentée par la matrice $ (A^i_j=(\phi^i\circ A)(e_j))$ dans les bases $ (e_1,\ldots,e_m)$ et $ (f_1,\ldots,f_n)$, en sorte que

$\displaystyle A(\sum_jx^je_j)=\sum_i(\sum_jA^i_jx^j)f_i,
$

alors $ A^*$ l'est par la matrice transposée dans les bases duales(4.2). En effet, si $ \eta=\sum\eta_i\phi^i$, alors, pour tout $ x\in E$,

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 13968\begin{array}{rcl}
(A^*(\sum_i...
... [1ex]
&=&(\sum_j(\sum_iA^i_j\eta_i)\epsilon^j)(x).
\end{array}\end{displaymath}



2003-11-02