L'expression locale
La variété est supposée à base dénombrable, ce qui revient à dire qu'elle possède un atlas dénombrable. Le fibré possède donc aussi un atlas dénombrable. Par conséquent, il est aussi à base dénombrable.
Vérifions, enfin, que est séparé. Soient , . Supposons que . La variété étant séparée, il existe des domaines de cartes disjoints et de contenant respectivement et . Ils donnent des ouverts disjoints et de contenant respectivement et . Si, au contraire, , notons une carte de dont le domaine contient . Les expressions locales de et de sont distinctes. Elles appartiennent donc à des ouverts disjoints et de . Les ouverts et de sont disjoints et contiennent l'un et l'autre .
La variété décrite dans la proposition ci-dessus est le fibré tangent de (2.9).
On vérifiera à titre d'exercice que l'application, où on considère plongé dans
,
En fait, il est assez rare qu'il existe un difféomorphisme tel que (2.12) et qui soit linéaire en le facteur de droite. Si c'est le cas, on dit que est parallélisable car alors chaque espace tangent est muni d'une base canonique associée à . Elle est formée des vecteurs . On dit que les applications de classe forment une parallélisation de (2.13). Dans le cas de , elle contient un seul élément, donné par . Dans celui de , il y en a trois: . Tous les sous-groupes qui sont des variétés plongées sont parallélisables. Si est une base de leur algèbre de Lie , alors en constitue en effet une parallélisation(2.14).
Le problème de déterminer si une variété est parallélisable est, en général, très difficile.
C'est également un exercice utile de vérifier que si est une variété plongée dans , alors est également une variété plongée, dans .