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2.4 Le fibré $ TM$

On désigne par $ TM$ l'ensemble des vecteurs tangents à $ M$ et par $ \pi_M:TM\to M$ l'application qui à % latex2html id marker 12078
$ {\bf h}\in T_aM$ associe $ a$.

Proposition 2.4.1   Si $ (U,\varphi)$ est une carte de $ M$, alors $ (TU,(\varphi,\varphi_*))$, où

% latex2html id marker 12089
$\displaystyle (\varphi,\varphi_*): {\bf h}\in T_aM\mapsto (\varphi(a),\varphi_{*a}{\bf h})\in \varphi(U)\times{\rm I\!R}^m,
$

est une carte de $ TM$. Les cartes de $ TM$ de cette forme sont toutes compatibles. Elles définissent une structure de variété sur $ TM$, de dimension $ 2\dim M$, pour laquelle $ \pi_M$ est de classe $ C^\infty$ et est une submersion(2.8).

Preuve. Il est clair que $ (\varphi,\varphi_*)$ est une bijection entre $ TU$ et % latex2html id marker 12118
$ \varphi(U)\times{\rm I\!R}^m$ qui est un ouvert de % latex2html id marker 12120
$ {\rm I\!R}^{2m}$. Par conséquent, $ (TU,(\varphi,\varphi_*))$ est une carte de $ TM$. Les cartes de cette forme sont compatibles car si $ (V,\psi)$ est une carte de $ M$ et si $ U\cap V\neq\emptyset$ alors $ TU\cap TV=T(U\cap V)\neq\emptyset$ et

$\displaystyle (\psi,\psi_*)\circ(\varphi,\varphi_*)^{-1}=(\psi\circ\varphi^{-1},(\psi\circ\varphi^{-1})_*)
$

est de classe $ C^\infty$ de % latex2html id marker 12138
$ (\varphi,\varphi_*)(TU\cap TV)=\varphi(U\cap V)\times {\rm I\!R}^m$ dans % latex2html id marker 12140
$ (\psi,\psi_*)(TU\cap TV)=\psi(U\cap V)\times{\rm I\!R}^m$.

L'expression locale

$\displaystyle \varphi\circ\pi_M\circ(\varphi,\varphi_*)^{-1}:(u,h)\mapsto u.
$

de $ \pi_M$ dans les cartes $ (U,\varphi)$ et $ (TU,(\varphi,\varphi_*))$ est une application linéaire surjective. Sa différentielle l'est donc aussi et $ \pi_M$ est une submersion.

La variété $ M$ est supposée à base dénombrable, ce qui revient à dire qu'elle possède un atlas dénombrable. Le fibré $ TM$ possède donc aussi un atlas dénombrable. Par conséquent, il est aussi à base dénombrable.

Vérifions, enfin, que $ TM$ est séparé. Soient % latex2html id marker 12158
$ {\bf h}, {\bf k}\in TM$, % latex2html id marker 12160
$ {\bf h}\neq{\bf k}$. Supposons que % latex2html id marker 12162
$ x=\pi_M({\bf h})\neq y=\pi_M({\bf k})$. La variété $ M$ étant séparée, il existe des domaines de cartes disjoints $ U$ et $ V$ de $ M$ contenant respectivement $ x$ et $ y$. Ils donnent des ouverts disjoints $ TU$ et $ TV$ de $ TM$ contenant respectivement % latex2html id marker 12182
$ {\bf h}$ et % latex2html id marker 12184
$ {\bf k}$. Si, au contraire, $ x=y$, notons $ (U,\varphi)$ une carte de $ M$ dont le domaine contient $ x$. Les expressions locales de % latex2html id marker 12194
$ {\bf h}$ et de % latex2html id marker 12196
$ {\bf k}$ sont distinctes. Elles appartiennent donc à des ouverts disjoints $ \alpha$ et $ \beta$ de % latex2html id marker 12202
$ {\rm I\!R}^m$. Les ouverts $ (\varphi,\varphi)_*^{-1}(\varphi(U),\alpha)$ et $ (\varphi,\varphi)_*^{-1}(\varphi(U),\beta)$ de $ TM$ sont disjoints et contiennent l'un % latex2html id marker 12210
$ {\bf h}$ et l'autre % latex2html id marker 12212
$ {\bf k}$. $ \qedsymbol$


La variété $ TM$ décrite dans la proposition ci-dessus est le fibré tangent de $ M$ (2.9).

Proposition 2.4.2   Si $ f\in C^\infty(M,N)$ alors $ f_*\in C^\infty(TM,TN)$.(2.10)

Preuve. En effet, si $ (U,\varphi)$ et $ (V,\psi)$ sont des cartes de $ M$ et de $ N$ telles que $ f(U)\subset V$, alors $ f_*(TU)\subset TV$ et l'expression locale de $ f_*$ dans les cartes correspondantes des fibrés $ TM$ et $ TN$ se lit

$\displaystyle (u,h)\mapsto ((\psi\circ f\circ\varphi^{-1})(u),(\psi\circ f\circ\varphi^{-1})_{*u}h).
$

$ \qedsymbol$


On vérifiera à titre d'exercice que l'application, où on considère $ S^1$ plongé dans % latex2html id marker 12252
$ {\rm I\!\!\!C}$,

% latex2html id marker 12254
$\displaystyle (z,r)\in S^1\times {\rm I\!R}\mapsto rzi\in T_zS^1
$

est un difféomorphisme de % latex2html id marker 12256
$ S^1\times {\rm I\!R}$ sur $ TS^1$(2.11). De même, $ S^3$ étant considéré comme plongé dans l'algèbre % latex2html id marker 12284
$ {\rm I\!H}$ des quaternions,

% latex2html id marker 12286
$\displaystyle (q,(r,s,t))\in S^3\times {\rm I\!R}^3 \mapsto rqi+ sqj+ tqk\in T_qS^3$ (2.3)

est un difféomorphisme de % latex2html id marker 12288
$ S^3\times {\rm I\!R}^3$ sur $ T_qS^3$. Dans les deux cas, le difféomorphisme respecte la structure vectorielle des espaces tangents. Par exemple, pour $ q$ fixé, (6) est une bijection linéaire en $ (r,s,t)$ de % latex2html id marker 12296
$ {\rm I\!R}^3$ sur $ T_qS^3$.

En fait, il est assez rare qu'il existe un difféomorphisme % latex2html id marker 12300
$ \tau: M\times {\rm I\!R}^m \to TM$ tel que $ \pi_M\circ\tau=p_1$(2.12) et qui soit linéaire en le facteur de droite. Si c'est le cas, on dit que $ M$ est parallélisable car alors chaque espace tangent $ T_aM$ est muni d'une base canonique associée à $ \tau$. Elle est formée des vecteurs $ \tau_i(a):\tau(\overrightarrow{e_i})(a)$. On dit que les applications de classe $ C^\infty$ $ a\in M\to \tau_i(a)\in T_aM$ forment une parallélisation $ (\tau_1,\ldots,\tau_m)$ de $ M$(2.13). Dans le cas de $ S^1$, elle contient un seul élément, donné par $ \tau_1(z)=iz$. Dans celui de $ S^3$, il y en a trois: $ (\tau_1,\tau_2,\tau_3)(q)=(qi,qj,qk)$. Tous les sous-groupes % latex2html id marker 12342
$ G\subset GL(p,{\rm I\!R})$ qui sont des variétés plongées sont parallélisables. Si $ (e_i, 1\leq m)$ est une base de leur algèbre de Lie % latex2html id marker 12346
$ {\mathcal G}=T_{\bf 1} G$, alors $ (\tau_1,\ldots,\tau_m)(A)=(Ae_1,\ldots,Ae_m)$ en constitue en effet une parallélisation(2.14).

Le problème de déterminer si une variété est parallélisable est, en général, très difficile.

C'est également un exercice utile de vérifier que si $ M$ est une variété plongée dans % latex2html id marker 12372
$ {\rm I\!R}^m$, alors $ TM$ est également une variété plongée, dans % latex2html id marker 12376
$ {\rm I\!R}^{2m}$.


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2003-11-02