2.4 Le fibré $TM$

On désigne par $TM$ l'ensemble des vecteurs tangents à $M$ et par $\pi_M:TM\to M$ l'application qui à ${\bf h}\in T_aM$ associe $a$.

Proposition 2.4.1   Si $(U,\varphi)$ est une carte de $M$, alors $(TU,(\varphi,\varphi_*))$, où

$$(\varphi,\varphi_*): {\bf h}\in T_aM\mapsto (\varphi(a),\varphi_{*a}{\bf h})\in \varphi(U)\times{\rm I\!R}^m,$$

est une carte de $TM$. Les cartes de $TM$ de cette forme sont toutes compatibles. Elles définissent une structure de variété sur $TM$, de dimension $2\dim M$, pour laquelle $\pi_M$ est de classe $C^\infty$ et est une submersion(^2.8).

Preuve. Il est clair que $(\varphi,\varphi_*)$ est une bijection entre $TU$ et $\varphi(U)\times{\rm I\!R}^m$ qui est un ouvert de ${\rm I\!R}^{2m}$. Par conséquent, $(TU,(\varphi,\varphi_*))$ est une carte de $TM$. Les cartes de cette forme sont compatibles car si $(V,\psi)$ est une carte de $M$ et si $U\cap V\neq\emptyset$ alors $TU\cap TV=T(U\cap V)\neq\emptyset$ et

$$(\psi,\psi_*)\circ(\varphi,\varphi_*)^{-1}=(\psi\circ\varphi^{-1},(\psi\circ\varphi^{-1})_*)$$

est de classe $C^\infty$ de $(\varphi,\varphi_*)(TU\cap TV)=\varphi(U\cap V)\times {\rm I\!R}^m$ dans $(\psi,\psi_*)(TU\cap TV)=\psi(U\cap V)\times{\rm I\!R}^m$.

L'expression locale

$$\varphi\circ\pi_M\circ(\varphi,\varphi_*)^{-1}:(u,h)\mapsto u.$$

de $\pi_M$ dans les cartes $(U,\varphi)$ et $(TU,(\varphi,\varphi_*))$ est une application linéaire surjective. Sa différentielle l'est donc aussi et $\pi_M$ est une submersion.

La variété $M$ est supposée à base dénombrable, ce qui revient à dire qu'elle possède un atlas dénombrable. Le fibré $TM$ possède donc aussi un atlas dénombrable. Par conséquent, il est aussi à base dénombrable.

Vérifions, enfin, que $TM$ est séparé. Soient ${\bf h}, {\bf k}\in TM$, ${\bf h}\neq{\bf k}$. Supposons que $x=\pi_M({\bf h})\neq y=\pi_M({\bf k})$. La variété $M$ étant séparée, il existe des domaines de cartes disjoints $U$ et $V$ de $M$ contenant respectivement $x$ et $y$. Ils donnent des ouverts disjoints $TU$ et $TV$ de $TM$ contenant respectivement ${\bf h}$ et ${\bf k}$. Si, au contraire, $x=y$, notons $(U,\varphi)$ une carte de $M$ dont le domaine contient $x$. Les expressions locales de ${\bf h}$ et de ${\bf k}$ sont distinctes. Elles appartiennent donc à des ouverts disjoints $\alpha$ et $\beta$ de ${\rm I\!R}^m$. Les ouverts $(\varphi,\varphi)_*^{-1}(\varphi(U),\alpha)$ et $(\varphi,\varphi)_*^{-1}(\varphi(U),\beta)$ de $TM$ sont disjoints et contiennent l'un ${\bf h}$ et l'autre ${\bf k}$. $\qedsymbol$

La variété $TM$ décrite dans la proposition ci-dessus est le fibré tangent de $M$ (^2.9).

Proposition 2.4.2   Si $f\in C^\infty(M,N)$ alors $f_*\in C^\infty(TM,TN)$.(^2.10)

Preuve. En effet, si $(U,\varphi)$ et $(V,\psi)$ sont des cartes de $M$ et de $N$ telles que $f(U)\subset V$, alors $f_*(TU)\subset TV$ et l'expression locale de $f_*$ dans les cartes correspondantes des fibrés $TM$ et $TN$ se lit

$$(u,h)\mapsto ((\psi\circ f\circ\varphi^{-1})(u),(\psi\circ f\circ\varphi^{-1})_{*u}h).$$

$\qedsymbol$

On vérifiera à titre d'exercice que l'application, où on considère $S^1$ plongé dans ${\rm I\!\!\!C}$,

$$(z,r)\in S^1\times {\rm I\!R}\mapsto rzi\in T_zS^1$$

est un difféomorphisme de $S^1\times {\rm I\!R}$ sur $TS^1$(^2.11). De même, $S^3$ étant considéré comme plongé dans l'algèbre ${\rm I\!H}$ des quaternions,

$$(q,(r,s,t))\in S^3\times {\rm I\!R}^3 \mapsto rqi+ sqj+ tqk\in T_qS^3$$ (2.3)

est un difféomorphisme de $S^3\times {\rm I\!R}^3$ sur $T_qS^3$. Dans les deux cas, le difféomorphisme respecte la structure vectorielle des espaces tangents. Par exemple, pour $q$ fixé, (6) est une bijection linéaire en $(r,s,t)$ de ${\rm I\!R}^3$ sur $T_qS^3$.

En fait, il est assez rare qu'il existe un difféomorphisme $\tau: M\times {\rm I\!R}^m \to TM$ tel que $\pi_M\circ\tau=p_1$(^2.12) et qui soit linéaire en le facteur de droite. Si c'est le cas, on dit que $M$ est parallélisable car alors chaque espace tangent $T_aM$ est muni d'une base canonique associée à $\tau$. Elle est formée des vecteurs $\tau_i(a):\tau(\overrightarrow{e_i})(a)$. On dit que les applications de classe $C^\infty$ $a\in M\to \tau_i(a)\in T_aM$ forment une parallélisation $(\tau_1,\ldots,\tau_m)$ de $M$(^2.13). Dans le cas de $S^1$, elle contient un seul élément, donné par $\tau_1(z)=iz$. Dans celui de $S^3$, il y en a trois: $(\tau_1,\tau_2,\tau_3)(q)=(qi,qj,qk)$. Tous les sous-groupes $G\subset GL(p,{\rm I\!R})$ qui sont des variétés plongées sont parallélisables. Si $(e_i, 1\leq m)$ est une base de leur algèbre de Lie ${\mathcal G}=T_{\bf 1} G$, alors $(\tau_1,\ldots,\tau_m)(A)=(Ae_1,\ldots,Ae_m)$ en constitue en effet une parallélisation(^2.14).

Le problème de déterminer si une variété est parallélisable est, en général, très difficile.

C'est également un exercice utile de vérifier que si $M$ est une variété plongée dans ${\rm I\!R}^m$, alors $TM$ est également une variété plongée, dans ${\rm I\!R}^{2m}$.