1.4 L'exercice de Milnor

On appelle ainsi le théorème suivant qui montre à quel point la structure d'une variété différentielle est déterminée par celle de l'algèbre de ses fonctions à valeurs réelles.

Théorème 1.4.1   Soient des variétés différentielles $M$ et $N$. Une application linéaire $\Phi:C^\infty(M,{\rm I\!R})\to C^\infty(N,{\rm I\!R})$ est un isomorphisme d'algèbres(^1.7) si et seulement si il existe un difféomorphisme $\varphi:M\to N$ tel que

$$\Phi(f)=f\circ \varphi^{-1}, \ \forall f\in C^\infty(M,{\rm I\!R}).$$ (1.2)

Pour la démonstration de ce théorème, nous aurons besoin de la propositions suivante.

Proposition 1.4.2   Soit une variété différentielle $M$.
a)Pour tout $a\in M$, l'ensemble

$$I_a=\{f\in C^\infty(M,{\rm I\!R})\vert f(a)=0\}$$

est un idéal de $C^\infty(M,{\rm I\!R})$(^1.8). Il est de codimension $1$.
b) Si $I\subset C^\infty(M,{\rm I\!R})$ est un idéal de codimension $1$ alors il existe $a\in M$ tel que $I=I_a$.
c) Si $I_a=I_b$ alors $a=b$.

Preuve du théorème 4.1. Il est facile de vérifier que les applications $\Phi$ de la forme (2) sont des isomorphismes d'algèbres. Nous allons nous contenter de prouver la réciproque. Soit donc un isomorphisme d'algèbres $\Phi:C^\infty(M,{\rm I\!R})\to C^\infty(N,{\rm I\!R})$. Il induit une bijection entre les ensembles d'idéaux de codimension $1$ de ces algèbres. D'après la proposition 4.2, il existe donc des applications $\varphi:M\to N$ et $\psi:N\to M$ telles que

$$\Phi(I_x)=I_{\varphi(x)}, \forall x\in M,$$

et

$$\Phi^{-1}(I_y)=I_{\psi(y)}, \forall y\in N.$$

Il est clair que $\varphi$ et $\psi$ sont des applications réciproques l'une de l'autre. De plus, on a

$$\Phi(f)=f\circ\varphi^{-1},\forall f\in C^\infty(M,{\rm I\!R}).$$ (1.3)

En effet, pour tout $a$, on peut décomposer une fonction $f$ en la somme d'une constante et d'une fonction nulle en $a$:

$$f=f(a)1+(f-f(a)).$$

En appliquant $\Phi$ aux deux membres de cette relation puis en évaluant le résultat en $\varphi(a)$, il vient

$$\Phi(f)(\varphi(a))=f(a)\Phi(1)+\Phi(f-f(a))(\varphi(a))=f(a)$$

car $\Phi(f-f(a))\in I_{\varphi(a)}$ (et $\Phi(1)=1.$) Il suffit de remplacer $a$ par $\varphi^{-1}(y), \ y\in N,$ pour obtenir (3).

Nous devons, pour terminer, montrer que $\varphi$ est de classe $C^\infty$. En remplaçant $\Phi$ par son inverse, cela suffira pour vérifier que $\varphi^{-1}$ l'est aussi et donc que $\varphi$ est un difféomorphisme.

Commençons par vérifier que $\varphi$ est continu. Soient donc un ouvert non vide $V$ de $N$ et $a\in\varphi^{-1}(V)$. On peut construire une fonction $g\in C^\infty(N,{\rm I\!R})$ telle que $g(\varphi(a))\neq 0$ et dont le support soit inclus dans $V$. Posons $f=\Phi^{-1}(g)=g\circ\varphi$. Si $f(x)\neq 0$, alors $\varphi(x)\in{\rm supp }g$. Par conséquent, l'image par $\varphi$ de l'ouvert $\{x\in M:f(x)\neq 0\}$ de $M$, qui contient $a$, est incluse dans $V$. D'où la continuité de $\varphi$.

Soient $a\in M$, $b=\varphi(a)\in N$ et une carte $(V,\beta)$ de $N$ dont le domaine contient $b$. Quitte à rétrécire $V$, nous pouvons supposer qu'il existe des fonctions $g^1,\ldots,g^n\in C^\infty(N)$ telles que

$$g^i(y)=\beta^i(y), \forall y\in V.$$

Les fonctions $f^i=\Phi^{-1}(g^i)=g^i\circ\varphi$ sont de classe $C^\infty$ sur $M$. Soit une carte $(U,\alpha)$ de $M$ dont le domaine contient $a$. Par continuité de $\varphi$, quitte à restreindre $U$, on peut supposer que $\varphi(U)\subset V$. Pour $u$ dans $\alpha(U)$, on a donc $\beta^i\circ\varphi\circ\alpha^{-1}(u)=f^i\circ\alpha^{-1}(u)$. Par conséquent, l'expression locale $\beta\circ\varphi\circ\alpha^{-1}$ de $\varphi$ est de classe $C^\infty$.$\qed$

Preuve de la proposition 4.2. a) Il est clair que $I_a$ est un idéal. L'application

$$f\!\! \mod I_a \mapsto f(a)$$

étant une bijection entre $C^\infty(M,{\rm I\!R})/I_a$ et ${\rm I\!R}$, $I_a$ est de codimension $1$.
b) Nous allons prouver b) par l'absurde et, dans ce but, nous admettrons que $M$ possède une fonction propre, $f_0$(^1.9).

Soit un idéal $I$ de codimension $1$ dans $C^\infty(M,{\rm I\!R})$ qui ne soit pas de la forme $I_a$(^1.10). Il ne contient pas $1$(^1.11). Il existe donc $r\in{\rm I\!R}$ tel que $u_0=f_0-r1\in I$. Puisque $f_0$ est propre, l'ensemble $K=u_0^{-1}(0)$ est un compact de $M$. Comme $I$ n'est de la forme $I_a$ pour aucun $a$, à chaque point de $K$, on peut associer un ouvert qui le contient et un élément de $I$ qui ne s'annule pas dans cet ouvert. Par compacité, on peut recouvrir $K$ à l'aide d'un nombre fini de ces ouverts: il existe des ouverts $\omega_1,\ldots,\omega_p$ dont l'union contient $K$ et $u_1,\ldots,u_p\in I$ tels que $u_i$ ne s'annule en aucun point de $\omega_i$. Posons $\omega_0=M\setminus K$. La fonction

$$u=\sum_{0\leq i\leq p}u_i^2$$

est un élément de $I$, qui ne s'annule en aucun point. Il en résulte que $I= C^\infty(M,{\rm I\!R})$ puisque, pour tout $f\in C^\infty(M,{\rm I\!R})$, on a

$$f=\frac f u u \in I. \qed$$

Revenons un instant sur l'existence d'une fonction propre. Appelons partition de l'unité sur $M$ une suite $\{\alpha_i\vert i\in {\rm I\!N}\}$ d'éléments de $C^\infty (M,{\rm I\!R})$, toutes à valeurs positives, dont les supports forment une famille localement finie de compacts et dont la somme

$$\sum_{i=0}^{+\infty}\alpha_i$$

converge vers 1. Par définition d'une famille localement finie, pour tout $a\in M$, il existe un ouvert $\omega$ de $M$ contenant $a$ et qui n'est rencontré que par un nombre fini de ${\rm supp }\alpha_i$. La série ci-dessus converge donc toujours puisque, sur $\omega$, elle se réduit à une somme finie.

Proposition 1.4.3   Si $\{\alpha_i\vert i\in {\rm I\!N}\}$ est une partition de l'unité de $M$, alors

$$f:x\mapsto \sum_{i=0}^{+\infty} i\alpha_i(x)$$

est une fonction propre de $M$.

Preuve. La série définissant $f$ converge vers une fonction différentiable car, de nouveau, c'est localement une somme finie de fonctions différentiables. Cela étant, pour $n\in{\rm I\!N}$, on a

$$f^{-1}([0,n])\subset \cup_{i=1}^n{\rm supp }\alpha_i.$$

En effet, si $x\notin\cup_{i=1}^n{\rm supp }\alpha_i$, alors $\alpha_0(x)=\cdots=\alpha_n(x)=0$ et

$$f(x)=\sum_{i>n}i\alpha_i(x)\geq(n+1)\sum_{i>n}\alpha_i(x)=(n+1)\sum_{i=0}^{+\infty} \alpha_i(x)=n+1.$$

Soit alors un compact $K\subset{\rm I\!R}$. Il existe un entier $n$ tel que $K\subset]-\infty,n]$. Puisque les valeurs de $f$ ne sont pas négatives,

$$f^{-1}(K)=f^{-1}(K\cap[0,+\infty])\subset f^{-1}([0,n])\subset \cup_{i=1}^n{\rm supp }\alpha_i.$$

Par conséquent, $f^{-1}(K)$ est compact(^1.12). $\qedsymbol$

Nous admettons la propriété suivante.

Proposition 1.4.4   Soit un recouvrement ouvert ${\mathcal U}=\{U_\alpha\vert\alpha\in A\}$ d'une variété $M$. Il existe une partition de l'unité de $M$ subordonnée à ${\mathcal U}$ [ ce qui signifie que le support de chaque élément de la partition est inclus à un des éléments du recouvrement].