5.3 L'isomorphisme canonique entre $TT^*M$ et $T^*T^*M$

La structure particulière du fibré cotangent donne lieu à un difféomorphisme canonique entre ses propres fibrés tangent et cotangent. Ce difféomorphisme, que nous noterons $\flat: A\mapsto A^\flat$(^5.1), respecte la structure vectorielle des espaces tangent et cotangent en ce sens que, pour tout $\xi\in T^*M$, il se restreint en une bijection linéaire $\flat_\xi$ de $T_\xi T^*M$ dans $T^*_\xi T^*M$. On dit alors que c'est un isomorphisme- de fibrés vectoriels- entre $TT^*M$ et $T^*T^*M$. Nous noterons $\sharp:\alpha \mapsto \alpha^\sharp$ le difféomorphisme inverse(^5.2), qui est aussi un isomorphisme puisque $\sharp_\xi=\flat_\xi^{-1}$ pour tout $\xi$(^5.3).

Proposition 5.3.1   Il existe un isomorphisme $\flat:TT^*M\to T^*T^*M$, et un seul, tel que

$$H^\flat(X^c)=d\tilde{X}(H)$$ (5.3)

pour tout $X\in Vect(M)$ et tout $H\in Vect(M)$.

Preuve. A cause des propriétés 1.1 et 2.3, un tel isomorphisme est forcément unique. Ces mêmes propriétés, qui s'appliquent aussi bien à des domaines de cartes canoniques qu'à $T^*M$ tout entier(^5.4), montrent également que si nous avons construits localement des isomorphismes $\flat$ vérifiant (14) dans des domaines de cartes $T^*U$ et $T^*V$, alors ils coïncident dans l'intersection $T^*(U\cap V)$ de ceux-ci et se prolongent donc mutuellement dans leur union $T^*(U\cup V)$. Il suffit dès lors de construire une solution $\flat$ de (14) dans chaque $T^*U$ pour conclure. Vu les formules (12) et (13), il est clair que l'application $\flat:TT^*U\to T^*T^*U$ donnée par

$$A^\flat=\sum_i(A_idx^i-A^id\xi_i)$$

lorsque les composantes de $A\in T_\xi T^*U$ sont $(A^1,\ldots,A^m,A_1,\ldots,A_m)$ convient. D'où le résultat. $\qedsymbol$

Exemple 5.3.2   $(X^c)^\flat=-d\tilde{X}$.

En coordonnées locales, cela résulte immédiatement des formules (12) et (13). On peut aussi observer que

$$% latex2html id marker 14534\begin{array}{rcl} ((X^c)^\fla... ...\\ &=&-[Y,X]\ \tilde{ }\\ &=&-(d\tilde{X})(Y^c) \end{array}$$

pour tout $Y\in Vect(M)$ puis appliquer la proposition 2.3.