3.4 Crochet de Lie et flot

Le crochet de Lie de champs de vecteurs peut être exprimé à l'aide de leurs flots.

Proposition 3.4.1   Soient $X,Y\in Vect(M)$ et $(t,x)\in\Omega\mapsto \varphi_t(x)\in M$ le flot de $X$. Pour tout $a\in M$,

$${\frac{d}{dt}{\varphi_{-t*}Y_{\varphi_t(a)}}}=\varphi_{-t*}[X,Y]_{\varphi_t(a)},\forall t\in\Omega_a.$$

Preuve. i)Vérifions d'abord cette égalité en $t=0$, en coordonnées locales. Pour $t$ assez proche de 0 et $x$ assez proche de $a$, les points $\varphi_{\pm t}(x)$ sont dans le domaine d'une carte arbitrairement fixée de $M$ dont le domaine contient $a$. Notons $\Phi(t,u)$ l'expression locale de $\varphi_t(x)$. Celle de $\varphi_{-t*}Y_{\varphi_t(x)}$ est alors

$$\sum_{ij}\frac{\partial\Phi^i}{\partial u^ j}(-t,\Phi(t,u))Y^j(\Phi(t,u))\overrightarrow{e_i},$$

où $\overrightarrow{e_i}$ est le $i$-ième vecteur de la base canonique de ${\rm I\!R}^m$. La dérivée par rapport à $t$ de cette expression comporte trois termes, correspondant aux trois occurrences de $t$. Pour les calculer, en $t=0$, on utilisera l'égalité

$${\frac{d}{dt}{\Phi(t,u)}}=X(\Phi(t,u))$$

sans oublier que $\Phi(0,u)=u$, ce qui entraîne que

$$\frac{\partial\Phi^i}{\partial u^ j}(0,u)=\delta_j^i.$$

Le premier terme vaut ainsi

$$-\sum_{ij}\frac{\partial X^i}{\partial u^j}Y^j(u)\overrightarrow{e_i}.$$

Le second vaut

$$\sum_{ij}({\frac{d}{dt}{\delta_j^i}})Y^j(u)\overrightarrow{e_i}=0.$$

Pour le troisième, on obtient

$$\sum_{ijk}\delta_j^i\frac{\partial Y^j}{\partial u^k}X^k(u)\overr... ...row{e_i}=\sum_{ij}\frac{\partial Y^i}{\partial u^j}X^j(u)\overrightarrow{e_i}.$$

La somme de ces trois termes est bien l'expression locale de $[X,Y](x)$. ii) Passons maintenant au cas général. Compte tenu de la proposition 2.1 et de i), il vient (^3.9)

$$% latex2html id marker 13387\begin{array}{rcl} {\frac{d}{d... ...lambda=0}\\ [1ex] &=&\varphi_{-s*}Y(\varphi_s(a)). \end{array}$$

$\qedsymbol$

Exemple 3.4.2   $[H^*,K^*]=[H,K]^*.$

En effet, tout champ invariant à gauche étant $\gamma_A$-lié à lui-même pour tout $A\in G$, on a

$$[H^*,K^*]_A=\gamma_{A*}[H^*,K^*]_{\bf 1}.$$

Le flot de $H^*$ étant donné par $\varphi_t(A)=Ae^{tH}$, il vient

$$% latex2html id marker 13402\begin{array}{ccl} [H^*,K^*]_{... ...dt}{e^{tH}Ke^{-tH}}}_{\vert t=0}\\ [1ex] &=&HK-KH. \end{array}$$

D'où la formule annoncée.

Lemme 3.4.3   Soient $X,Y\in Vect(M)$ et $a\in M$. Notons $\varphi$ le flot de $X$ et $\psi$ celui de $Y$. Il existe un ouvert $\omega$ de $M$ contenant $a$ et $\epsilon > 0$ tels que, pour tout $x\in\omega$, les fonctions $(t,s)\mapsto\varphi_t \circ\psi_s(x)$ et $(t,s)\mapsto\psi_s\circ\varphi_t(x)$ soient définies dans $]-\epsilon,\epsilon[\times ]-\epsilon,\epsilon[$.

Preuve. Notons $\Omega$ le domaine de définition de $\varphi$ et $\Omega'$ celui de $\psi$. La fonction $\psi':(t,s,x)\in{\rm I\!R}\times\Omega'\mapsto (s,t,\psi_s(x))\in{\rm I\!R}\times{\rm I\!R}\times M$ est continue et applique $(0,0,a)$ sur lui-même. L'intersection $({\rm I\!R}\times\Omega')\cap\psi'^{-1}({\rm I\!R}\times\Omega)$ est donc un ouvert non vide, contenant $(0,0,a)$. Il existe donc un ouvert $\omega$ de $M$ contenant $a$ et $\epsilon > 0$ tels que

$$(0,0,a)\in ]-\epsilon,\epsilon[\time... ...s\omega\subset({\rm I\!R}\times\Omega')\cap\psi'^{-1}({\rm I\!R}\times\Omega).$$

Autrement dit, l'ensemble $]-\epsilon,\epsilon[\times ]-\epsilon,\epsilon[\times\omega$ est donc contenu dans le domaine de définition de $(t,s,x)\mapsto\varphi_t \circ\psi_s(x)$. Quitte à restreindre $\omega$ et à diminuer $\epsilon$, on peut aussi supposer qu'il l'est dans celui de $(t,s,x)\mapsto\psi_s\circ\varphi_t(x)$. $\qedsymbol$

Proposition 3.4.4   Soient $X,Y\in Vect(M)$. Notons $\varphi$ le flot de $X$ et $\psi$ celui de $Y$. Si $[X,Y]=0$, alors pour tout $a\in M$, il existe un ouvert $\omega$ de $M$ contenant $a$ et $\epsilon > 0$ tels que, pour tout $x\in\omega$,

$$\varphi_t \circ\psi_s(x)=\psi_s\circ\varphi_t(x)$$ (3.5)

quels que soient $t$ et $s$ dans $]-\epsilon,\epsilon[$ et réciproquement.

Preuve. Nous choisissons $\omega$ et $\epsilon$ comme dans le lemme ci-dessus. Supposons que $[X,Y]=0$. Pour $x\in\omega$ et $t$ dans $]-\epsilon,\epsilon[$, la dérivée

$${\frac{d}{dt}{\varphi_{-t*}Y_{\varphi_t(x)}}}=\varphi_{-t*}[X,Y]_{\varphi_t(x)}$$

est nulle. Ainsi, $\varphi_{-t*}Y_{\varphi_t(x)}=Y_x$ et, dans $\omega$, le champ $Y$ est $\varphi_t$-lié à lui-même. Vu la proposition 3.2, l'égalité (11) est alors vraie pour tout $s$ dans $]-\epsilon,\epsilon[$. Inversement, supposons que les flots de $X$ et $Y$ commutent comme indiqué dans l'énoncé. En dérivant l'égalité (11) par rapport à $s$, on obtient

$$\varphi_{-t*}Y_{\varphi_t(x)}=Y_x.$$

En prenant la dérivée par rapport à $t$, on constate ensuite que $[X,Y](x)=0$. Le point $a$ étant arbitraire dans $M$, on en déduit que le crochet de Lie de $X$ et de $Y$ est nul. $\qedsymbol$