3 Champs de vecteurs

Un champ de vecteurs sur une variété $M$ est une application $X\in C^\infty(M,TM)$ vérifiant $\pi_M\circ X=id_M$. Cette dernière condition signifie que, pour tout $x\in M$, $X(x)$ est tangent en $x$ à $M$.

A cause d'elle, l'expression locale de $X$ dans des cartes $(U,\varphi)$ et $(TU,(\varphi,\varphi_*))$ de $M$ et de $TM$ est de la forme

$$u\mapsto (u,(X^1(u),\ldots,X^m(u))).$$

On dit alors que l'application de classe $C^\infty$

$$u\in\varphi(U)\mapsto (X^1(u),\ldots,X^m(u))\in{\rm I\!R}^m$$

constitue l'expression locale de $X$ dans la carte $(U,\varphi)$ de $M$. Si $\varphi(x)=u$ alors

$$X(x)=\sum_iX^i(u)\partial_i(x).(\footnotemark )$$

On écrit encore cette relation sous la forme $X=\sum_iX^i\partial_i$. Dans cette expression de $X$, il est parfois commode de considérer les $X^i$ comme fonctions de $x\in U$ plutôt que de $u=\varphi(x)$. Quand ce sera le cas, nous ferons en sorte que le contexte l'indique clairement.

Pour rappel, $X^i=X.x^i$, où $x^i:U\to {\rm I\!R}$ est la fonction qui associe à $x\in U$ sa coordonnée locale $\varphi^i(x)$ de numéro $i$.

Exemple 3.0.1   Les champs invariants d'un groupe.

Soit un sous-groupe $G\subset GL(p,{\rm I\!R})$ qui soit un variété plongée de $gl(p,{\rm I\!R})$. Pour tout $H\in{\mathcal G}$, l'application $H^*:A\in G\mapsto AH\in T_AG$ est un champ de vecteurs de $G$. Il n'est peut être pas évident que $H^*:G\to TG$ est de classe $C^\infty$. Ce qui est certain, c'est que l'application $A\mapsto AH$ est de classe $C^\infty$ de $gl(p,{\rm I\!R})$ dans lui-même. Il suffit alors d'appliquer le lemme suivant pour conclure.

Lemme 3.0.2   Soient une variété plongée $V$ dans ${\rm I\!R}^m$, de dimension $p$, et une application $X:\Omega\to{\rm I\!R}^m$ de classe $C^\infty$ telle que $X(x)\in T_xV$ en tout point $x$ de $\Omega\cap V$. Vu comme une application de $\Omega\cap V$ dans $TV$, $X$ est de classe $C^\infty$.

Preuve. Soit en effet un paramétrage $(\omega,\psi)$ d'un voisinage $U$ d'un point de $\Omega\cap V$, par des coordonnées dans ${\rm I\!R}^m$. Pour simplifier les notations, on peut supposer qu'il s'agit des coordonnées de numéros $1$ à $p$. L'application $\psi$ est donc de la forme $u=(x^1,\ldots,x^p)\mapsto (u,f^1(u),\ldots,f^{m-p}(u))$, où les $f^i$ sont de classe $C^\infty$. En d'autres mots, $\varphi:x\mapsto (x^1,\ldots,x^p)$ définit une carte $(U,\varphi)$ de $V$. Dans celle-ci, l'expression locale de $X$ est donnée par

$$u\mapsto (u,X^1(u,f^1(u),\ldots,f^{m-p}(u)),\ldots,X^p(u,f^1(u),\ldots,f^{m-p}(u))).$$

Elle est donc de classe $C^\infty$. $\qedsymbol$

La multiplication à gauche $\gamma_S$ par $S\in G$ dans $G$ est de classe $C^\infty$ de $G$ dans lui-même(^3.2). De plus,

$$\gamma_{S*} H^*(A) = \frac d {dt} SAe^{tH}\ _{\vert t=0}=SAH=H^*(SA)$$ (3.1)

soit: $\gamma_{S*} H^*=H^*\circ\gamma_S$. C'est la raison pour laquelle on dit que $H^*$ est invariant à gauche. On vérifierait de même que $A\mapsto HA$ définit un champ de vacteurs sur $G$ qui est cette fois invariant à droite.