2.1 Espace tangent

Soit une variété $M$. L'espace tangent à $M$ en $a$, noté $T_aM$, est, par définition, l'ensemble des $a$-dérivations de l'algèbre $C^\infty(M,{\rm I\!R})$, c'est-à-dire des applications linéaires ${\bf h}:C^\infty(M,{\rm I\!R})\to{\rm I\!R}:f\mapsto {\bf h}.f$ vérifiant

$${\bf h}.(fg)=({\bf h}.f)g(a)+f(a)({\bf h}.g), \ \forall f,g\in C^\infty(M,{\rm I\!R}).$$

C'est donc un espace vectoriel, sous-espace du dual $C^\infty (M,{\rm I\!R})^*$ de $C^\infty (M,{\rm I\!R})$(^2.1).

A chaque courbe $\gamma:I\to M$ de classe $C^1$ de $M$ passant par $a$ correspond une $a$-dérivation: si $\gamma(s)=a$, il s'agit de

$${\frac{d}{dt}{\gamma}}(s):f\mapsto {\frac{d}{dt}{(f\circ\gamma)}}\vert _{t=s}.$$

On l'appelle le vecteur tangent à $\gamma$ en $t=s$, ou en $a$, s'il est clair que $a=\gamma(s)$. On le note aussi $\dot{\gamma}(s)$.

Théorème 2.1.1   Soient une variété $M$, $a\in M$ et une carte $(U,\varphi)$ de $M$ dont le domaine contient $a$.
a) L'espace $T_aM$ est l'ensemble des vecteurs tangents en $a$ aux courbes de $M$ passant par $a$.
b) Pour tout ${\bf h}\in T_aM$, il existe $(h^1,\ldots,h^m)\in{\rm I\!R}^m$ tel que (^2.2)

$${\bf h}.f=\sum_ih^i\partial_i(f\circ\varphi^{-1})(\varphi(a)),\ \forall f\in C^\infty(M,{\rm I\!R}).$$ (2.1)

c) L'application $\varphi_{*a}:{\bf h}\mapsto (h^1,\ldots,h^m)$ définie par cette relation est une bijection linéaire entre $T_aM$ et ${\rm I\!R}^m$.

La preuve de ce théorème repose sur le lemme suivant.

Lemme 2.1.2   Soient une variété $M$, $a\in M$ et une carte $(U,\varphi)$ de $M$ dont le domaine contient $a$. Il existe des fonctions $u_i\in C^\infty(M,{\rm I\!R})$ telle que, pour tout $f\in C^\infty(M,{\rm I\!R})$,

$$f=f(a)+\sum_{i=1}^m\partial_i(f\circ\varphi^{-1})(\varphi(a))u_i+\sum_{i=0}^mv_iw_i$$ (2.2)

où les fonctions $v_i,w_i$ s'annulent en $a$.

Preuve du théorème 1.1.(i) Appliquons une $a$-dérivation ${\bf h}$ aux deux membres de (5). En tenant compte de ce que ${\bf h}.f(a)=0$(^2.3) et du fait que les fonctions $v_i,w_i$ sont nulles en $a$, cela donne

$${\bf h}.f=\sum_i({\bf h}.u_i)\partial_i(f\circ\varphi^{-1})(\varphi(a))$$

Ainsi, ${\bf h}.f$ est bien de la forme (4), avec $h^i={\bf h}.u_i$.
(ii) En prenant pour $f$ une fonction dont l'expression locale $f\circ\varphi^{-1}$ coïncide avec $x^i$ au voisinage de $\varphi(a)$, on voit que $h^i={\bf h}.f$ est univoquement déterminé par ${\bf h}$. En particulier, l'application $\varphi_{*a}$, qui est donnée par ${\bf h}\mapsto ({\bf h}.u_1,\ldots,{\bf h}.u_m)$, est bien définie et est linéaire. Elle est visiblement injective.
(iii) Soit une courbe $(I,\gamma)$ de $M$ passant par $a$ en $t=s$. Quitte à restreindre $I$, on peut supposer que $\gamma(I)\subset U$. On a alors

$$\dot{\gamma}(s).f = {\frac{d}{dt}{(f\circ\gamma)}}(s)$$

$$= {\frac{d}{dt}{(f\circ\varphi^{-1})\circ(\varphi\circ\gamma)}}(s)$$

$$= \sum_i\partial_i(f\circ\varphi^{-1})(\varphi(a)){\frac{d}{dt}{(\varphi^i\circ\gamma)}}(s)$$

pour tout $f\in C^\infty(M,{\rm I\!R})$. Soit $h=(h^1,\ldots,h^m)\in{\rm I\!R}^m$. Pour $\epsilon > 0$ assez petit, la courbe $\gamma:t\mapsto \varphi^{-1}(\varphi(a)+th)$ est définie dans $]-\epsilon,\epsilon[$, passe par $a$ en $t=0$ et vérifie ${\frac{d}{dt}{(\varphi^i\circ\gamma)}}(0)=h^i$. Avec la relation précédente (où l'on prend $s=0$), ceci démontre a) et prouve que $\varphi_{*a}$ est surjectif.$\qed$

Preuve du lemme 1.2. Grâce à la remarque 3.3, on peut trouver des fonctions $u_i$ de classe $C^\infty(M,{\rm I\!R})$ nulle hors de $U$, à support compact dans $U$ et dont l'expression locale dans la carte $(U,\varphi)$ coïncide avec $x^i-b^i$ dans un voisinage de $b=\varphi(a)$. L'expression locale de la fonction

$$g:x\in M \mapsto f(x)-f(a)-\sum_{i=1}^m\partial_i(f\circ\varphi^{-1})(b)u_i(x)\in{\rm I\!R},$$

s'annule en $b$ ainsi que ses dérivées premières. Il existe donc des fonctions $g^{ij}$ de classe $C^\infty$ telles que, dans $\varphi(U)$,

$$g\circ\varphi^{-1}=\sum_{i,j=1}^m(x^i-b^i)(x^j-b^j)g^{ij}.$$

Considérons une fonction $\alpha_0\in C^\infty({\rm I\!R}^m,{\rm I\!R})$, à valeurs dans $[0,1]$, à support compact contenu dans $\varphi(U)$ et égale à $1$ dans un ouvert $\omega$ contenant $b$. Notons $\alpha$ la fonction nulle hors de $U$ et dont $\alpha_0$ est l'expression locale dans $(U,\varphi)$. On a

$$\alpha^2 g=\sum_{i=1}^mv_iw_i$$

où $v_i,w_i\in C^\infty(M,{\rm I\!R})$ ont

$$\alpha_0(x^i-b^i)$$    et $$\sum_j \alpha_0(x^j-b^j)g^{ij}$$

pour expressions locales respectives dans la carte $(U,\varphi)$. Il reste à montrer que $(1-\alpha^2)g$ est le produit de deux fonctions nulles en $a$. Pour cela, on prend une fonction $\beta$ nulle dans le complémentaire de $U$, à valeurs dans $[0,1]$ et dont l'expression locale est à support compact dans $\omega$ et vaut $1$ dans un voisinage de $b$. On peut alors écrire

$$(1-\alpha^2)g=(1-\beta)(1-\alpha^2)g$$

et prendre $v_0=1-\beta$, $w_0=(1-\alpha^2)g$.$\qed$

Avec les notation du théorème précédent, l'élément $\varphi_{*a}{\bf h}=(h^1,...,h^m)\in{\rm I\!R}^m$ est l'expression locale de ${\bf h}$ dans la carte $(U,\varphi)$. On voit aussi que l'expression locale de $\dot{\gamma(s)}$ est le vecteur tangent ${\frac{d}{dt}{\varphi\circ\gamma}}(s)$ à l'expression locale $\varphi\circ\gamma$ de $\gamma$.

Remarque 2.1.3   Dans la suite, nous identifierons l'espace tangent $T_a{\rm I\!R}^m$ à ${\rm I\!R}^m$ en chaque point $a$ avec ${\rm I\!R}^m$, en confondant la $a$-dérivation ${\bf h}$ d'expression locale $(h^1,\ldots,h^m)$ dans la carte canonique $({\rm I\!R}^m,x\mapsto x)$ avec $(h^1,\ldots,h^m)$.

Vu comme $a$-dérivation, ce dernier est donc l'application

$$f\mapsto\sum_{i=1}^mh^i\frac{\partial f}{\partial x^i}(a).$$

Dans l'identification ci-dessus, le vecteur tangent $\dot{\gamma}(s)$ à une courbe $(I,\gamma)$ de ${\rm I\!R}^m$ au sens de la définition donnée plus haut est confondu avec

$$(\frac{d\gamma^1}{dt}(s),\ldots,\frac{d\gamma^m}{dt}(s))$$

lequel correspond à la définition du vecteur tangent à une courbe donnée dans des cours antérieurs.