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Une équation différentielle

On garde les mêmes notations.

Proposition 3.2.3   Soit une courbe $ t\mapsto H(t)$ de $ {\mathcal G}$, définie et de classe $ C^\infty$ dans l'intervalle $ I$. Pour tout $ s\in I$ et tout $ A\in G$, il existe une seule courbe $ (I,\gamma)$ de $ G$ telle que

$\displaystyle \dot{\gamma}(t)=\gamma(t)H(t),\forall t\in I$ (3.4)

et $ \gamma(s)=A.$

Preuve. i)Pour tout $ s\in I$ et tout $ A\in G$, il existe $ \epsilon > 0$ et un ouvert $ \omega$ de $ G$ contenant $ A$ tels que, pour tout $ B\in \omega$, l'équation (10) admet une seule solution dans $ ]s-\epsilon,s+\epsilon[$ passant par $ B$ en $ s$. Pour vérifier ceci, on exprime l'équation donnée en coordonnées locales. On applique alors les propriétés des systèmes d'équations différentielles ordinaires à l'équation obtenue pour conclure. De façon plus détaillée, soient des cartes $ (U,\varphi)$ et $ (V,\psi)$ de $ G$ telles que $ A\in U$ et % latex2html id marker 12972
$ {\bf 1}\in V$. La multiplication étant continue, quitte à rétrécire $ V$, on peut choisir un ouvert $ U'\subset U$, contenant $ A$ et tel que $ U'V\subset U$. Notons $ m:\varphi(U')\times\psi(V)\to\varphi(U)$ l'expression locale de la multiplication de $ G$,

$\displaystyle m(u,v)=\varphi(\varphi^{-1}(u)\psi^{-1}(v)),
$

et, pour chaque $ u$, désignons par $ m_u$ l'application partielle $ v\mapsto m(u,v)$ exprimant en coordonnées locales la multiplication à gauche par $ \varphi^{-1}(u)$. Notons également $ h(t)$ l'expression locale % latex2html id marker 12998
$ \psi_{*{\bf 1}}H(t)$ de $ H(t)$. Dans les coordonnées locales choisies, l'équation proposée s'écrit

% latex2html id marker 13002
$\displaystyle \dot{u}=(m_{u(t)})_{*{\bf 1}}h(t), u(s)=\varphi(B).
$

C'est bien un système d'équations différentielles ordinaires, comme annoncé. D'où i).
ii) Si $ (I_1,\gamma_1)$ et $ (I_2,\gamma_2)$ vérifient tous les deux l'équation (10) et si $ \gamma_1(s)=\gamma_2(s)$ pour un certain $ s\in I_1\cap I_2$, alors $ \gamma_1$ et $ \gamma_2$ sont égaux dans $ I_1\cap I_2$. Montrons que l'ensemble $ e$ des $ t\in I_1\cap I_2$ en lesquels $ \gamma_1$ et $ \gamma_2$ sont égaux est à la fois ouvert et fermé. Comme il n'est pas vide et comme $ I_1\cap I_2$ est connexe, il en résultera que $ e=I_1\cap I_2$. Les fonctions $ \gamma_i$ étant continues, il est clair que $ e$ est fermé (car $ M$ est séparé). Le fait que $ e$ soit ouvert est une conséquence immédiate de i). D'où ii).
iii) Pour tout $ s\in I$, l'équation (10) admet une solution maximale $ (J,\gamma)$, et une seule, passant par $ A\in G$ en $ s$. L'unicité est immédiate. Vérifions l'existence. D'après i), il existe au moins une solution à l'équation proposée. D'après ii), deux solutions coïncident dans l'intersection de leurs domaines de définitions et se prolongent donc mutuellement dans l'union de ceux-ci. La solution maximale est celle que l'on obtient en prolongeant toutes les solutions à l'union de leurs domaines de définition.
iv) Si $ (J,\gamma)$ est une solution de (10), alors, pour tout $ A\in G$, $ (J,A\gamma)$ en est une aussi. C'est immédiat.
v) Le domaine de la solution maximale $ (J,\gamma)$ coïncide avec $ I$. Supposons par exemple que $ b=\sup J < \sup I$. Vu i), il existe une solution $ (]b-\epsilon,b+\epsilon [,U)$ de l'équation $ \dot{\gamma}(t)=\gamma(t)H(t)$ qui passe par % latex2html id marker 13062
$ {\bf 1}$ en $ t=b$. La courbe $ t\mapsto \gamma(b-\epsilon/2)U(b-\epsilon/2)^{-1}U(t)$ est solution de la même équation et passe par $ \gamma(b-\epsilon/2)$ en $ t=b-\epsilon/2$. Vu ii), elle prolonge donc $ \gamma$ au-delà de $ b$, ce qui est absurde. Donc $ \sup J = \sup I$. On démontre de manière analogue que $ \inf J = \inf I$. $ \qedsymbol$


En prenant $ H(t)$ constant dans la proposition 2.3, on obtient le flot des champs invariants à gauche de $ G$ comme décrit plus haut.

Voici une autre application de cette proposition.

Proposition 3.2.4   Soient des fonctions $ \kappa$ et $ \tau$ définies sur un intervalle % latex2html id marker 13089
$ I\subset {\rm I\!R}$, où elles sont de classe $ C^\infty$(3.7), les valeurs de $ \kappa$ étant positives. Il existe un arc régulier de courbe $ (I,\gamma)$ de % latex2html id marker 13101
$ {\rm I\!R}^3$ dont $ \kappa$ et $ \tau$ soient la courbure et la torsion respectivement. Cet arc est unique à isométrie positive près.

Preuve. Notons $ F$ la fonction associant à $ s$ la matrice ayant pour colonnes les composantes de la tangente unitaire % latex2html id marker 13114
$ {\bf t}$, de la normale principale % latex2html id marker 13116
$ {\bf n}$ et de la binormale % latex2html id marker 13118
$ {\bf b}$ d'un arc régulier de courbe rapporté à une abscisse curviligne $ s$. Elle prend ses valeurs dans le groupe $ SO(3)$ des matrices orthogonales de déterminant $ 1$ car le trièdre de Frenet est, en tout point de l'arc, une base orthonormée positive. Les équations de Frenet s'écrivent

$\displaystyle \dot{F}=FH(s)
$

$ H(s)$ est la matrice

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 13130\left(
\begin{array}{ccc}
0&-\...
...0\\
\kappa(s)&0&-\tau(s)\\
0&\tau(s)&0
\end{array}\right).
\end{displaymath}

Celle-ci est une courbe de l'espace des matrices antisymétriques, qui est l'algèbre de Lie % latex2html id marker 13132
$ so(3)=T_{\bf 1}SO(3)$. Les fonctions $ \kappa$ et $ \tau$ étant données, il résulte donc de la proposition 2.3 qu'il existe une solution $ (I,F)$ de l'équation ci-dessus et qu'elle est déterminée par sa valeur en un point de $ I$, c'est-à-dire, à une rotation près. Une primitive de la première colonne % latex2html id marker 13142
$ {\bf t}$ de $ F$ donne un arc régulier de courbe répondant à la question. Chaque composante de la primitive étant définie à une constante près, cet arc est, en fin de compte, déterminé à un déplacement près. $ \qedsymbol$

Reprenons l'exemple 3.5 des homographies $ h_A$ associées aux éléments $ A$ de % latex2html id marker 13150
$ GL(m+1,{\rm I\!R})$. Lorsqu'on prend % latex2html id marker 13152
$ A=A(t)=e^{tH}, H\in gl(m+1,{\rm I\!R})$, et % latex2html id marker 13154
$ d\in{\rm I\!R}^mP$, on obtient une courbe $ t\mapsto h_{A(t)}(d)$ de % latex2html id marker 13158
$ {\rm I\!R}^mP$. On définit alors un champ de vecteurs $ H^g$ de % latex2html id marker 13162
$ {\rm I\!R}^mP$ en posant

$\displaystyle H^g_d={\frac{d}{dt}{h_{A(t)}(d)}}.
$

Pour écrire l'expression locale de ce champ dans la carte $ (U_0,\varphi_0)$, découpons la matrice $ H$ en isolant la première ligne et la première colonne:

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 13170H=
\left(
\begin{array}{cc}
r&\alpha\\
u&M
\end{array}\right)
\end{displaymath}

% latex2html id marker 13172
$ r\in{\rm I\!R}, \alpha\in{\rm I\!R}^{m*}, u\in{\rm I\!R}^m$ et % latex2html id marker 13174
$ M\in gl(m,{\rm I\!R})$. En notant $ x$ les coordonnées locales $ (x^1,...,x^m)$, il est facile de vérifier que l'expression locale de $ H^g$ est

% latex2html id marker 13182
$\displaystyle x\mapsto -\alpha(x)x+(M-r{\bf 1})x+u.
$

(Les expressions locales dans les autres cartes canoniques de % latex2html id marker 13184
$ {\rm I\!R}^mP$ sont analogues.) Le champ $ H^g$ est donc bien de classe $ C^\infty$. Son flot est l'application

$\displaystyle (t,d)\mapsto h_{A(t)}(d).
$

En effet, $ h_{A(0)}(d)=d$ et, puisque $ A(t+s)=A(t)A(s)$,

$\displaystyle {{\frac{d}{dt}{h_{A(t)}}}}_{\vert t=s}={{\frac{d}{dt}{h_{A(t)}}}(h_{A(s)}(d))}_{\vert t=0}=H^g_{h_{A(s)}}.
$

Les courbes intégrales maximales de $ H^g$ sont donc définies sur % latex2html id marker 13200
$ {\rm I\!R}$ tout entier(3.8)
Ce n'est pas toujours le cas des solutions des équations différentielles dont leurs expressions locales sont solutions dans les cartes de % latex2html id marker 13206
$ {\rm I\!R}^mP$. Par exemple, avec $ m=1$ et

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 13210H=
\left(
\begin{array}{cc}
0&-1\\
0&0
\end{array}\right),
\end{displaymath}

il s'agit de l'équation différentielle

$\displaystyle {\frac{d}{dt}{x}}=x^2, \ x(0)=x_0,
$

dans la carte $ (U_0,\varphi_0)$ et de

$\displaystyle {\frac{d}{dt}{x}}=-1, \ x(0)=x_0,
$

dans la carte $ (U_1,\varphi_1)$. La solution de la première est

$\displaystyle t\mapsto \frac{x_0}{1-tx_0}.
$

Quand $ x_0\neq 0$, elle n'est pas définie sur tout % latex2html id marker 13224
$ {\rm I\!R}$ alors que les solutions $ x_0-t$ de la seconde sont toutes définies sur % latex2html id marker 13228
$ {\rm I\!R}$. Naturellement, le changement de cartes $ \varphi_1\circ\varphi_0^{-1}:x\mapsto \frac 1 x$ fait passer de l'une à l'autre.

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2003-11-02