Une équation différentielle

On garde les mêmes notations.

Proposition 3.2.3   Soit une courbe $t\mapsto H(t)$ de ${\mathcal G}$, définie et de classe $C^\infty$ dans l'intervalle $I$. Pour tout $s\in I$ et tout $A\in G$, il existe une seule courbe $(I,\gamma)$ de $G$ telle que

$$\dot{\gamma}(t)=\gamma(t)H(t),\forall t\in I$$ (3.4)

et $\gamma(s)=A.$

Preuve. i)Pour tout $s\in I$ et tout $A\in G$, il existe $\epsilon > 0$ et un ouvert $\omega$ de $G$ contenant $A$ tels que, pour tout $B\in \omega$, l'équation (10) admet une seule solution dans $]s-\epsilon,s+\epsilon[$ passant par $B$ en $s$. Pour vérifier ceci, on exprime l'équation donnée en coordonnées locales. On applique alors les propriétés des systèmes d'équations différentielles ordinaires à l'équation obtenue pour conclure. De façon plus détaillée, soient des cartes $(U,\varphi)$ et $(V,\psi)$ de $G$ telles que $A\in U$ et ${\bf 1}\in V$. La multiplication étant continue, quitte à rétrécire $V$, on peut choisir un ouvert $U'\subset U$, contenant $A$ et tel que $U'V\subset U$. Notons $m:\varphi(U')\times\psi(V)\to\varphi(U)$ l'expression locale de la multiplication de $G$,

$$m(u,v)=\varphi(\varphi^{-1}(u)\psi^{-1}(v)),$$

et, pour chaque $u$, désignons par $m_u$ l'application partielle $v\mapsto m(u,v)$ exprimant en coordonnées locales la multiplication à gauche par $\varphi^{-1}(u)$. Notons également $h(t)$ l'expression locale $\psi_{*{\bf 1}}H(t)$ de $H(t)$. Dans les coordonnées locales choisies, l'équation proposée s'écrit

$$\dot{u}=(m_{u(t)})_{*{\bf 1}}h(t), u(s)=\varphi(B).$$

C'est bien un système d'équations différentielles ordinaires, comme annoncé. D'où i).
ii) Si $(I_1,\gamma_1)$ et $(I_2,\gamma_2)$ vérifient tous les deux l'équation (10) et si $\gamma_1(s)=\gamma_2(s)$ pour un certain $s\in I_1\cap I_2$, alors $\gamma_1$ et $\gamma_2$ sont égaux dans $I_1\cap I_2$. Montrons que l'ensemble $e$ des $t\in I_1\cap I_2$ en lesquels $\gamma_1$ et $\gamma_2$ sont égaux est à la fois ouvert et fermé. Comme il n'est pas vide et comme $I_1\cap I_2$ est connexe, il en résultera que $e=I_1\cap I_2$. Les fonctions $\gamma_i$ étant continues, il est clair que $e$ est fermé (car $M$ est séparé). Le fait que $e$ soit ouvert est une conséquence immédiate de i). D'où ii).
iii) Pour tout $s\in I$, l'équation (10) admet une solution maximale $(J,\gamma)$, et une seule, passant par $A\in G$ en $s$. L'unicité est immédiate. Vérifions l'existence. D'après i), il existe au moins une solution à l'équation proposée. D'après ii), deux solutions coïncident dans l'intersection de leurs domaines de définitions et se prolongent donc mutuellement dans l'union de ceux-ci. La solution maximale est celle que l'on obtient en prolongeant toutes les solutions à l'union de leurs domaines de définition.
iv) Si $(J,\gamma)$ est une solution de (10), alors, pour tout $A\in G$, $(J,A\gamma)$ en est une aussi. C'est immédiat.
v) Le domaine de la solution maximale $(J,\gamma)$ coïncide avec $I$. Supposons par exemple que $b=\sup J < \sup I$. Vu i), il existe une solution $(]b-\epsilon,b+\epsilon [,U)$ de l'équation $\dot{\gamma}(t)=\gamma(t)H(t)$ qui passe par ${\bf 1}$ en $t=b$. La courbe $t\mapsto \gamma(b-\epsilon/2)U(b-\epsilon/2)^{-1}U(t)$ est solution de la même équation et passe par $\gamma(b-\epsilon/2)$ en $t=b-\epsilon/2$. Vu ii), elle prolonge donc $\gamma$ au-delà de $b$, ce qui est absurde. Donc $\sup J = \sup I$. On démontre de manière analogue que $\inf J = \inf I$. $\qedsymbol$

En prenant $H(t)$ constant dans la proposition 2.3, on obtient le flot des champs invariants à gauche de $G$ comme décrit plus haut.

Voici une autre application de cette proposition.

Proposition 3.2.4   Soient des fonctions $\kappa$ et $\tau$ définies sur un intervalle $I\subset {\rm I\!R}$, où elles sont de classe $C^\infty$(^3.7), les valeurs de $\kappa$ étant positives. Il existe un arc régulier de courbe $(I,\gamma)$ de ${\rm I\!R}^3$ dont $\kappa$ et $\tau$ soient la courbure et la torsion respectivement. Cet arc est unique à isométrie positive près.

Preuve. Notons $F$ la fonction associant à $s$ la matrice ayant pour colonnes les composantes de la tangente unitaire ${\bf t}$, de la normale principale ${\bf n}$ et de la binormale ${\bf b}$ d'un arc régulier de courbe rapporté à une abscisse curviligne $s$. Elle prend ses valeurs dans le groupe $SO(3)$ des matrices orthogonales de déterminant $1$ car le trièdre de Frenet est, en tout point de l'arc, une base orthonormée positive. Les équations de Frenet s'écrivent

$$\dot{F}=FH(s)$$

où $H(s)$ est la matrice

$$% latex2html id marker 13130\left( \begin{array}{ccc} 0&-\... ...0\\ \kappa(s)&0&-\tau(s)\\ 0&\tau(s)&0 \end{array}\right).$$

Celle-ci est une courbe de l'espace des matrices antisymétriques, qui est l'algèbre de Lie $so(3)=T_{\bf 1}SO(3)$. Les fonctions $\kappa$ et $\tau$ étant données, il résulte donc de la proposition 2.3 qu'il existe une solution $(I,F)$ de l'équation ci-dessus et qu'elle est déterminée par sa valeur en un point de $I$, c'est-à-dire, à une rotation près. Une primitive de la première colonne ${\bf t}$ de $F$ donne un arc régulier de courbe répondant à la question. Chaque composante de la primitive étant définie à une constante près, cet arc est, en fin de compte, déterminé à un déplacement près. $\qedsymbol$

Reprenons l'exemple 3.5 des homographies $h_A$ associées aux éléments $A$ de $GL(m+1,{\rm I\!R})$. Lorsqu'on prend $A=A(t)=e^{tH}, H\in gl(m+1,{\rm I\!R})$, et $d\in{\rm I\!R}^mP$, on obtient une courbe $t\mapsto h_{A(t)}(d)$ de ${\rm I\!R}^mP$. On définit alors un champ de vecteurs $H^g$ de ${\rm I\!R}^mP$ en posant

$$H^g_d={\frac{d}{dt}{h_{A(t)}(d)}}.$$

Pour écrire l'expression locale de ce champ dans la carte $(U_0,\varphi_0)$, découpons la matrice $H$ en isolant la première ligne et la première colonne:

$$% latex2html id marker 13170H= \left( \begin{array}{cc} r&\alpha\\ u&M \end{array}\right)$$

où $r\in{\rm I\!R}, \alpha\in{\rm I\!R}^{m*}, u\in{\rm I\!R}^m$ et $M\in gl(m,{\rm I\!R})$. En notant $x$ les coordonnées locales $(x^1,...,x^m)$, il est facile de vérifier que l'expression locale de $H^g$ est

$$x\mapsto -\alpha(x)x+(M-r{\bf 1})x+u.$$

(Les expressions locales dans les autres cartes canoniques de ${\rm I\!R}^mP$ sont analogues.) Le champ $H^g$ est donc bien de classe $C^\infty$. Son flot est l'application

$$(t,d)\mapsto h_{A(t)}(d).$$

En effet, $h_{A(0)}(d)=d$ et, puisque $A(t+s)=A(t)A(s)$,

$${{\frac{d}{dt}{h_{A(t)}}}}_{\vert t=s}={{\frac{d}{dt}{h_{A(t)}}}(h_{A(s)}(d))}_{\vert t=0}=H^g_{h_{A(s)}}.$$

Les courbes intégrales maximales de $H^g$ sont donc définies sur ${\rm I\!R}$ tout entier(^3.8)

Ce n'est pas toujours le cas des solutions des équations différentielles dont leurs expressions locales sont solutions dans les cartes de ${\rm I\!R}^mP$. Par exemple, avec $m=1$ et

$$% latex2html id marker 13210H= \left( \begin{array}{cc} 0&-1\\ 0&0 \end{array}\right),$$

il s'agit de l'équation différentielle

$${\frac{d}{dt}{x}}=x^2, \ x(0)=x_0,$$

dans la carte $(U_0,\varphi_0)$ et de

$${\frac{d}{dt}{x}}=-1, \ x(0)=x_0,$$

dans la carte $(U_1,\varphi_1)$. La solution de la première est

$$t\mapsto \frac{x_0}{1-tx_0}.$$

Quand $x_0\neq 0$, elle n'est pas définie sur tout ${\rm I\!R}$ alors que les solutions $x_0-t$ de la seconde sont toutes définies sur ${\rm I\!R}$. Naturellement, le changement de cartes $\varphi_1\circ\varphi_0^{-1}:x\mapsto \frac 1 x$ fait passer de l'une à l'autre.