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On garde les mêmes notations.
Proposition 3.2.3
Soit une courbe
de
, définie et de classe
dans l'intervalle
.
Pour tout
et tout
, il existe une seule courbe
de
telle que
|
(3.4) |
et
Preuve.
i)
Pour tout et tout , il existe
et un ouvert de contenant tels que, pour tout
, l'équation (10) admet une seule solution dans
passant par en .
Pour vérifier ceci, on exprime l'équation donnée en coordonnées locales. On applique alors les propriétés des systèmes d'équations différentielles ordinaires à l'équation obtenue pour conclure. De façon plus détaillée, soient des cartes
et
de
telles que
et
. La multiplication étant continue, quitte à rétrécire
, on peut choisir un ouvert
, contenant
et tel que
. Notons
l'expression locale de la multiplication de
,
et, pour chaque
, désignons par
l'application partielle
exprimant en coordonnées locales la multiplication à gauche par
.
Notons également
l'expression locale
de
.
Dans les coordonnées locales choisies, l'équation proposée s'écrit
C'est bien un système d'équations différentielles ordinaires, comme annoncé. D'où i).
ii)
Si
et
vérifient tous les deux l'équation (10) et si
pour un certain
, alors et sont égaux dans
.
Montrons que l'ensemble
des
en lesquels
et
sont égaux est à la fois ouvert et fermé. Comme il n'est pas vide et comme
est connexe, il en résultera que
. Les fonctions
étant continues, il est clair que
est fermé (car
est séparé). Le fait que
soit ouvert est une conséquence immédiate de i). D'où ii).
iii)
Pour tout , l'équation (10) admet une solution maximale
, et une seule, passant par en . L'unicité est immédiate. Vérifions l'existence. D'après i), il existe au moins une solution à l'équation proposée. D'après ii), deux solutions coïncident dans l'intersection de leurs domaines de définitions et se prolongent donc mutuellement dans l'union de ceux-ci. La solution maximale est celle que l'on obtient en prolongeant toutes les solutions à l'union de leurs domaines de définition.
iv)
Si
est une solution de (10), alors, pour tout ,
en est une aussi. C'est immédiat.
v)
Le domaine de la solution maximale
coïncide avec . Supposons par exemple que
. Vu i), il existe une solution
de l'équation
qui passe par
en
. La courbe
est solution de la même équation et passe par
en
. Vu ii), elle prolonge donc
au-delà de
, ce qui est absurde. Donc
. On démontre de manière analogue que
.
En prenant constant dans la proposition 2.3, on obtient le flot des champs invariants à gauche de comme décrit plus haut.
Voici une autre application de cette proposition.
Proposition 3.2.4
Soient des fonctions
et
définies sur un intervalle
, où elles sont de classe
(
3.7), les valeurs de
étant positives. Il existe un arc régulier de courbe
de
dont
et
soient la courbure et la torsion respectivement. Cet arc est unique à isométrie positive près.
Preuve.
Notons
la fonction associant à
la matrice ayant pour colonnes les composantes de la tangente unitaire
, de la normale principale
et de la binormale
d'un arc régulier de courbe rapporté à une abscisse curviligne
. Elle prend ses valeurs dans le groupe
des matrices orthogonales de déterminant
car le trièdre de Frenet est, en tout point de l'arc, une base orthonormée positive. Les équations de Frenet s'écrivent
où
est la matrice
Celle-ci est une courbe de l'espace des matrices antisymétriques, qui est l'algèbre de Lie
. Les fonctions
et
étant données, il résulte donc de la proposition
2.3 qu'il existe une solution
de l'équation ci-dessus et qu'elle est déterminée par sa valeur en un point de
, c'est-à-dire, à une rotation près. Une primitive de la première colonne
de
donne un arc régulier de courbe répondant à la question. Chaque composante de la primitive étant définie à une constante près, cet arc est, en fin de compte, déterminé à un déplacement près.
Reprenons l'exemple 3.5 des homographies associées aux éléments de
. Lorsqu'on prend
, et
, on obtient une courbe
de
. On définit alors un champ de vecteurs de
en posant
Pour écrire l'expression locale de ce champ dans la carte
, découpons la matrice en isolant la première ligne et la première colonne:
où
et
.
En notant les coordonnées locales
, il est facile de vérifier que l'expression locale de est
(Les expressions locales dans les autres cartes canoniques de
sont analogues.)
Le champ est donc bien de classe . Son flot est l'application
En effet,
et, puisque
,
Les courbes intégrales maximales de sont donc définies sur
tout entier(3.8)
Ce n'est pas toujours le cas des solutions des équations différentielles dont leurs expressions locales sont solutions dans les cartes de
. Par exemple, avec et
il s'agit de l'équation différentielle
dans la carte
et de
dans la carte
. La solution de la première est
Quand , elle n'est pas définie sur tout
alors que les solutions de la seconde sont toutes définies sur
.
Naturellement, le changement de cartes
fait passer de l'une à l'autre.
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2003-11-02