Variété

Lemme 1.1.4   Si des cartes $(U,\varphi)$ et $(V,\psi)$ de $M$ sont $k$-compatibles avec les cartes d'un atlas ${\mathcal A}$ de $M$, alors elles sont $k$-compatibles.

Preuve. Soit $a\in U\cap V$. Il existe $(W,\theta)\in{\mathcal A}$ dont le domaine contient $a$. Les cartes $(U,\varphi)$ et $(V,\psi)$ étant $k$-compatibles avec $(W,\theta)$,

$$\theta(U\cap V\cap W)=\theta(U\cap W)\cap\theta(V\cap W)$$

est un ouvert de $\theta(W)$ et, dès lors,

$$\varphi(U\cap V\cap W)=(\varphi\circ\theta^{-1})(\theta(U\cap V\cap W))$$

et

$$\psi(U\cap V\cap W)=(\psi\circ\theta^{-1})(\theta(U\cap V\cap W))$$

sont des ouverts de $\varphi(U)$ et $\psi(V)$ respectivement. Le premier contient $\varphi(a)$, le second $\psi(a)$. Dans le premier,

$$\psi\circ\varphi^{-1}=(\psi\circ\theta^{-1})\circ(\theta\circ\varphi^{-1})$$

est un difféomorphisme de classe $C^k$. $\qedsymbol$

La relation de $k$-compatibilité n'est pas une équivalence dans l'ensemble des cartes d'un ensemble $M$. Elle n'est pas transitive. Deux cartes incompatibles sont en effet compatibles avec une troisième carte dont le domaine est disjoint de chacune d'elle. Cependant, vu le lemme ci-dessus,

Proposition 1.1.5   Tout atlas de $M$ est contenu dans un unique atlas maximal pour l'inclusion.

Preuve. Soit un atlas ${\mathcal A}$ de $M$. D'après le Lemme 1.4, l'union des cartes de $M$ compatibles avec celles de ${\mathcal A}$ est un atlas ${\mathcal A}'$ contenant ${\mathcal A}$. Il est maximal: s'il est contenu dans un atlas ${\mathcal A}''$, les cartes de ce dernier sont compatibles avec celles de ${\mathcal A}$ et sont donc comprises dans ${\mathcal A}'$.

Si des atlas ${\mathcal A}_1$ et ${\mathcal A}_2$ contiennent ${\mathcal A}$, alors leur cartes étant compatibles avec celles de ${\mathcal A}$, sont compatibles entre elles, à cause du même lemme. L'union ${\mathcal A}_1\cup{\mathcal A}_2$ est ainsi un atlas de $M$ contenant les ${\mathcal A}_i$. S'ils sont maximaux, ceux-ci sont donc égaux, à ${\mathcal A}_1\cup{\mathcal A}_2$. $\qedsymbol$

Un atlas maximal pour l'inclusion est dit saturé.

Une structure de variété de classe $C^k$ sur l'ensemble $M$ est un atlas saturé ${\mathcal A}$ de $M$. Le couple $(M,{\mathcal A})$ est alors une variété de classe $C^k$(^1.2). Souvent, pour définir une structure de variété de classe $C^k$ sur $M$, on donne un atlas de $M$ et on convient de munir $M$ de la structure définie par l'atlas saturé qui le contient. Une carte de (la variété) $M$ est alors une carte de l'atlas saturé en question. On vérifie facilement que si $(U,\varphi)$ est une carte de $M$, les cartes $(\varphi^{-1}(\omega),\varphi)$, où $\omega$ est un ouvert de $\varphi(U)$ sont aussi des cartes de $M$.

On a vu plus haut que les variétés plongées dans ${\rm I\!R}^m$ sont des variétés au sens de la présente définition. De même, l'espace projectif ${\rm I\!R}^m P$ est une variété, de classe $C^\infty$. Nous aurons l'occasion de rencontrer d'autres exemples par la suite mais en voici qui montrent qu'un même ensemble est susceptible de posséder plusieurs structures de variétés différentes.

Le couple $({\rm I\!R},x\mapsto x^3)$ est une carte de ${\rm I\!R}$. Elle n'est pas compatible avec la carte $({\rm I\!R},x\mapsto x)$ - dite canonique (^1.3) - qui fait de ${\rm I\!R}$ une variété plongée. En effet, l'application $x\mapsto x^{1/3}$ n'est pas de classe $C^1$ (elle n'est pas dérivable en 0). Ainsi, ${\rm I\!R}$ possède au moins deux structures de variété de classe $C^\infty$(^1.4).

Les couples $({\rm I\!R}\times\{a\},(x,a)\mapsto x)$, $a\in{\rm I\!R}$, forment un atlas de ${\rm I\!R}^2$. Ces cartes sont en effet compatibles puisque leurs domaines sont disjoints deux à deux. Elles définissent une structure de variété différente de la strucutre canonique de ${\rm I\!R}^2$. En effet, elles sont de dimension $1$ alors que les cartes de la strucutre canonique sont de dimension $2$.

Dans la suite, s'il n'y a pas d'ambiguité sur l'atlas, nous ne mentionnerons pas explicitement ce dernier et nous parlerons de la variété $M$ plutôt que de $(M,{\mathcal A})$.

La dimension d'une variété $M$ en un point $a$ est la dimension des cartes de $M$ dont le domaine contient $a$.

Remarque 1.1.6   Lorsque $M$ est un espace euclidien ${\rm I\!R}^m$, on le ramènera toujours, sauf mention explicite du contraire, à la carte canonique $({\rm I\!R}^m,x\mapsto x)$.