Pour tout , on note le dual de et on pose
transforme en
et la base duale de
de en la base duale de la base canonique de
.
Il alors clair que
est une bijection de sur
.
Soit une carte de . Examinons le changement de cartes . Si , alors et
Les cartes de de la forme
seront dites canoniques.
Afin d'éviter toute confusion, nous ne devrions pas utiliser la notation pour désigner la base locale des vecteurs tangents associée à une telle carte comme nous en avions pris l'habitude pour une carte quelconque de . En effet, est une abréviation de . Or, il y a coordonnées locales relatives à une carte canonique, les mais aussi les et ce que désignerait ne serait donc pas clair: la dérivée partielle par rapport à ou celle par rapport à . Une convention supplémentaire commode permet de lever cette ambiguité: nous désignerons encore par tandis que nous désignerons par .