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4.2 Le fibré $ T^*M$

Pour tout $ a\in M$, on note $ T^*_aM$ le dual de $ T_aM$ et on pose

$\displaystyle T^*M=\bigcup_{x\in M}T^*_xM.
$

Le danger de confusion avec son homologe introduit à propos du fibré tangent étant négligeable, on note encore $ \pi_M$ l'application associant $ x$ à $ \xi\in T^*_xM$.

Proposition 4.2.1   Si $ (U,\varphi)$ est une carte de $ M$, alors $ (TU,(\varphi,\varphi^{-1*}))$, où

% latex2html id marker 14028
$\displaystyle (\varphi,\varphi^{-1*}): \xi\in T_aM\mapsto (\varphi(a),(\varphi^{-1}_*)^*\xi)\in \varphi(U)\times{\rm I\!R}^{m*},
$

est une carte de $ T^*M$. Les cartes de $ T^*M$ de cette forme sont toutes compatibles. Elles définissent une structure de variété sur $ T^*M$, de dimension $ 2\dim M$, pour laquelle $ \pi_M$ est de classe $ C^\infty$ et est une submersion.

Preuve. Explicitons l'application $ \varphi^{-1*}$. Soient $ a\in U$, $ u=\varphi(a)$, $ \xi\in T^*_aM$ et % latex2html id marker 14053
$ (h^1,\ldots,h^m)\in{\rm I\!R}^m$. Vu la remarque 1.1,

$\displaystyle (\varphi^{-1*}(\xi))((h^1,\ldots,h^m)=\sum_ih^i\xi(\partial_i(a)).
$

En particulier,


$ \varphi^{-1*}$ transforme $ T^*_aM$ en % latex2html id marker 14061
$ {\rm I\!R}^{m*}$ et la base duale de $ (\partial_1(a),\ldots,\partial_m(a))$ de $ T^*_aM$ en la base duale de la base canonique de % latex2html id marker 14067
$ {\rm I\!R}^m$.


Il alors clair que $ (\varphi,\varphi^{-1*})$ est une bijection de $ T^*U$ sur % latex2html id marker 14073
$ \varphi(U)\times{\rm I\!R}^{m*}$.

Soit une carte $ (V,\psi)$ de $ M$. Examinons le changement de cartes $ (\psi,\psi^{-1})\circ(\varphi,\varphi^{-1*})^{-1}$. Si $ U\cap V\neq\emptyset$, alors $ T^*U\cap T^*V=T^*(U\cap V)\neq \emptyset$ et

$\displaystyle (\psi,\psi^{-1})\circ(\varphi,\varphi^{-1*})^{-1}=(\psi\circ\varphi^{-1},((\varphi\circ\psi^{-1})_*)^*)
$

est une bijection de classe $ C^\infty$ entre % latex2html id marker 14089
$ \varphi(U\cap V)\times{\rm I\!R}^{m*}$ et % latex2html id marker 14091
$ \psi(U\cap V)\times{\rm I\!R}^{m*}$. Ces cartes sont donc compatibles. Enfin, l'expression locale

$\displaystyle \varphi\circ\pi_M\circ(\varphi,\varphi^{-1*})^{-1}:(u,h)\mapsto u.
$

de $ \pi_M$ dans les cartes $ (U,\varphi)$ et $ (TU,(\varphi,\varphi^{-1*}))$ est une application linéaire surjective. Sa différentielle l'est donc aussi. $ \qedsymbol$


Les cartes de $ T^*M$ de la forme $ (TU,(\varphi,\varphi^{-1*}))$ seront dites canoniques.

Afin d'éviter toute confusion, nous ne devrions pas utiliser la notation $ \partial_i$ pour désigner la base locale des vecteurs tangents associée à une telle carte comme nous en avions pris l'habitude pour une carte quelconque de $ M$. En effet, $ \partial_i$ est une abréviation de $ \frac{\partial}{\partial x^i}$. Or, il y a $ 2m$ coordonnées locales relatives à une carte canonique, les $ x^i$ mais aussi les $ \xi_i$ et ce que $ \partial_i$ désignerait ne serait donc pas clair: la dérivée partielle par rapport à $ x^i$ ou celle par rapport à $ \xi_i$. Une convention supplémentaire commode permet de lever cette ambiguité: nous désignerons encore $ \frac{\partial}{\partial x^i}$ par $ \partial_i$ tandis que nous désignerons $ \frac{\partial}{\partial\xi_j}$ par $ \overline{\partial}_j$.


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2003-11-02