3.3 Champs liés

Soient $f\in C^\infty(M,N)$, $X\in Vect(M)$ et $Y\in Vect(N)$. Les champs $X$ et $Y$ sont $f$-liés si

$$f_*X=Y\circ f.$$

Proposition 3.3.1   Si $X$ et $Y$ ainsi que $X'$ et $Y'$ sont $f$-liés, alors $[X,X']$ et $[Y,Y']$ le sont aussi.

Preuve. En effet, si $u$ est une fonction de classe $C^\infty$ arbitraire sur $N$, alors, il vient successivement

$$% latex2html id marker 13271\begin{array}{rcl} ([Y,Y']\cir... ... f))\\ &=&[X,X'].(u\circ f)\\ &=&(f_*[X,X']).u. \end{array}$$

$\qedsymbol$

Proposition 3.3.2   Soient des champs $X$ et $Y$ $f$-liés.
a) Si $(I,\gamma)$ est une courbe intégrale de $X$ alors $(I,f\circ \gamma)$ en est une de $Y$.
b) En particulier, si la courbe intégrale maximale $t\mapsto\varphi_t(x)$ passant par $x$ en 0 de $X$ est définie dans $I$, alors la courbe intégrale maximale $t\mapsto\psi_t(f(x))$ de $Y$ passant par $f(x)$ en 0 est définie au moins dans $I$ et $\psi_t(f(x))=f(\varphi_t(x))$ pour tout $t\in I$.

Preuve. Le point b) résulte immédiatement de a). Quant à celui-ci, on note que, pour tout $t\in I$,

$$(f\circ \gamma)^.(t)=f_*\dot{\gamma}(t)=(Y\circ f)(\gamma(t))=Y((f\circ\gamma)(t)).$$

$\qedsymbol$