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3.3 Champs liés

Soient $ f\in C^\infty(M,N)$, $ X\in Vect(M)$ et $ Y\in Vect(N)$. Les champs $ X$ et $ Y$ sont $ f$-liés si

$\displaystyle f_*X=Y\circ f.
$

Proposition 3.3.1   Si $ X$ et $ Y$ ainsi que $ X'$ et $ Y'$ sont $ f$-liés, alors $ [X,X']$ et $ [Y,Y']$ le sont aussi.

Preuve. En effet, si $ u$ est une fonction de classe $ C^\infty$ arbitraire sur $ N$, alors, il vient successivement

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 13271\begin{array}{rcl}
([Y,Y']\cir...
... f))\\
&=&[X,X'].(u\circ f)\\
&=&(f_*[X,X']).u.
\end{array}\end{displaymath}

$ \qedsymbol$

Proposition 3.3.2   Soient des champs $ X$ et $ Y$ $ f$-liés.
a) Si $ (I,\gamma)$ est une courbe intégrale de $ X$ alors $ (I,f\circ \gamma)$ en est une de $ Y$.
b) En particulier, si la courbe intégrale maximale $ t\mapsto\varphi_t(x)$ passant par $ x$ en 0 de $ X$ est définie dans $ I$, alors la courbe intégrale maximale $ t\mapsto\psi_t(f(x))$ de $ Y$ passant par $ f(x)$ en 0 est définie au moins dans $ I$ et $ \psi_t(f(x))=f(\varphi_t(x))$ pour tout $ t\in I$.

Preuve. Le point b) résulte immédiatement de a). Quant à celui-ci, on note que, pour tout $ t\in I$,

$\displaystyle (f\circ \gamma)^.(t)=f_*\dot{\gamma}(t)=(Y\circ f)(\gamma(t))=Y((f\circ\gamma)(t)).
$

$ \qedsymbol$



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2003-11-02