Un théorème de ``redressement''

Le fait de pouvoir disposer librement des coordonnées locales que l'on utilise incite à choisir des cartes dans lesquelles le problème étudié est ``le plus simple possible''. Dans cette optique, on est donc amené à chercher dans quelle mesure des objets géométriques ont des expressions locales canoniques. Voici un exemple de cette sorte de résultats.

Proposition 3.4.5   Soient $a\in M$ et des champs de vecteurs $X_1,\ldots,X_p$ dont les commutateurs $[X_i,X_j]$ soient tous nuls. Si les vecteurs tangents $X_i(a)$ sont linéairement indépendants, alors il existe une carte $(U,\varphi)$ de $M$ dont le domaine contient $a$ et dans laquelle

$$X_i\vert _U=\partial_i,\ \forall i\leq p.$$

Preuve. Désignons par $\varphi^i$ le flot de $X_i$. En vertu d'une généralisation facile du lemme 4.3, il existe un ouvert $\omega$ de $M$ contenant $a$ et un nombre positif $\epsilon$ tels que

$$\varphi^1_{t^1}\circ\cdots\circ\varphi^p_{t^p}(x)$$

existe pour tous $t^1,\ldots,t^p\in]-\epsilon,\epsilon[$ et tout $x\in\omega$. Choisissons une carte $(U_0,\varphi_0)$ de $M$ dont le domaine contient $a$ telle que $\varphi_0(a)=0$ et

$$\varphi_{0*}X_i(a)=\overrightarrow{e_i}, \ \forall i\leq p.$$

On obtient une telle carte à partir d'une carte quelconque composée avec une affinité qui translate l'image de $a$ en 0 et qui transforme les expressions locales des $X_i(a)$ en les $\overrightarrow{e_i}$. Posons

$$\Phi(u^1,\ldots,u^m)=\varphi^1_{u^1}\circ\cdots\circ\varphi^p_{u^p}(\varphi_0^{-1}(0,\ldots,0,u^{p+1},\ldots,u^m)).$$

L'application $\Phi$ est de classe $C^\infty$ dans un voisinage ouvert de 0 dans ${\rm I\!R}^m$. Nous allons vérifier que $\Phi_{*0}$ est non singulier et que

$$\Phi_{*u}\overrightarrow{e_i}=X_i(\Phi(u)),\ \forall i\leq p.$$

En vertu du théorème de la fonction inverse, la première propriété montre que $\varphi_0\circ\Phi$ est un changement de variables au voisinage de 0 et que, par conséquent, en rétrécissant $U_0$ à un ouvert contenant $a$ assez petit, on obtient une carte $(U,\Phi^{-1})$ de $M$. Elle nécessite seulement que les champs considérés soient indépendants en $a$. La seconde propriété montre que cette carte répond à la question. Elle utilise le fait que les champs $X_i$ commutent.

Vérifions ces propriétés. Par définition,

$$\Phi_{*u}\overrightarrow{e_i}={\frac{d}{dt}{\Phi(u+t\overrightarrow{e_i})}}\vert _{t=0}$$

Si $i\leq p$ alors

$$% latex2html id marker 13642\begin{array}{rcl} \Phi_{*u}\o... ...ts,0,u^{p+1},\ldots,u^m)}}\\ [1ex] &=&X_i(\Phi(u)) \end{array}$$

car les applications $\varphi^j$ commutent puisque les crochets $[X_j,X_k]$ sont nuls deux à deux. En particulier, $\Phi_{*0}\overrightarrow{e_i}=\partial_i(a)$.

Si $i>p$, alors

$$\Phi_{*0}\overrightarrow{e_i}={\frac{d}{dt}{\varphi_0^{-1}(t\overrightarrow{e_i})}}\vert _{t=0}=\partial_i(a)$$

car $\varphi_0^i$ est l'identité dans $\omega$. Donc $\Phi_{*0}$ transforme la base des $\overrightarrow{e_i}$ de ${\rm I\!R}^m$ en la base des $\partial_i(a)$ de $T_aM$. Il est donc non singulier. $\qedsymbol$

Exemple 3.4.6   Les coordonnées polaires.

Considérons, dans ${\rm I\!R}^2$, les champs

$$X=x\partial_x+y\partial_y$$

et

$$Y=y\partial_x-x\partial_y.$$

Une courbe intégrale $(x(s),y(s))$ de $Y$ est solution des équations différentielles

$$% latex2html id marker 13679\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{x}&=&y\\ \dot{y}&=&-x \end{array}\right.$$

On a donc

$$\ddot{x}+x=0$$

si bien que la courbe intégrale maximale de $Y$ passant par $(a,b)$ en $s=0$ est donnée par $x=a\cos s+b\sin s$ et $y=b\cos s-a\sin s$, ou encore

$$% latex2html id marker 13693\psi_s((a,b)) = \left( \begin{... ...ay}\right) \left( \begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right).$$

Semblablement, on vérifie que le flot de $X$ est

$$\varphi_t((a,b))=e^t(a,b).$$

Il est clair que les applications $\varphi$ et $\psi$ commutent. On peut vérifier directement que $[X,Y]=0$ avec la formule (8). La composée de ces flots en $(a,b)=(1,0)$ est l'application

$$(t,s)\mapsto (e^t\cos s,e^t\sin s).$$

En posant $r=e^t$, on retrouve les coordonnées polaires de ${\rm I\!R}^2$. On notera que $X$ et $Y$ sont linéairement indépendants en tout point $(a,b)\neq (0,0)$.

Exemple 3.4.7   Les champs fondamentaux associés à des matrices qui commutent.

Si $[H,K]=0$ alors les champs $H^*$ et $K^*$ commutent. Leurs flots le font donc aussi. Ainsi,

$$HK=KH \Longrightarrow e^He^K=e^Ke^H.$$

Il va sans dire que les exponentielles de matrices qui ne commutent pas ne commutent généralement pas non plus.