3.4.1.0.4 Champs de vecteurs sur $SO(3)$

Soit une base $E,F,H$ de l'algèbre de Lie $so(3)$.
a)Montrer que pour tout $X\in Vect(SO(3))$, il existe des fonctions $\alpha,\beta$ et $\gamma$ de classe $C^\infty$ sur un voisinage ouvert de $SO(3)$ dans $gl(3,{\rm I\!R})$ telles que

$$X_A=X^{\alpha,\beta,\gamma}:=\alpha(A)E_A+\beta_AF_A+\gamma_AH_A, \forall A\in SO(3).$$

b)Calculer le crochet de Lie $[X^{\alpha,\beta,\gamma},X^{\alpha',\beta',\gamma'}]$ sous la forme $X^{\alpha'',\beta'',\gamma''}$
c)En identifiant ${\rm I\!R}^3P$ à $SO(3)$ (3.1), pour $H\in gl(4,{\rm I\!R})$ déterminer des fonctions $\alpha,\beta,\gamma$ telles que $H^g=X^{\alpha,\beta,\gamma}$.