6.4.3.2.3 Conclusions

En combinant ces deux remarques et en changeant éventuellement de signe les deux membres de l'équation, on met en évidence trois genres de courbes du second degré:

• Genre ellipse $(\delta>0)$:
  

  $$x_1^2+x_2^2+\gamma =$$ 0

  
  

• Genre hyperbole $(\delta<0)$:
  

  $$x_1^2-x_2^2+\gamma =$$ 0

  
  

• Genre parabole $(\delta=0)$:
  

  $$x_1^2+2\beta x_2=0, \beta\ne0,$$

  $$x_1^2+\gamma=0$$

  
  

Les différents genres se subdivisent encore selon le signe de $\gamma$ conduisant à la classification à présent facile à obtenir:

$$\begin{tabular}{\vert c\vert c\vert ... ...allèles\\ &&éventuellement confondues (ou imaginaires)\\ \hline \end{tabular}$$ (6.9)

Les noms entre parenthèse indiquent ce que serait le lieu si on acceptait des coordonnées complexes. La distinction entre une ellipse proprement dite non vide et une ellipse proprement dite imaginaire ne peut se faire sur la seule inspection du signe de $\Delta$. En effet, celui-ci change lorsqu'on change le signe de tous les coefficients de l'équation. On peut vérifier que l'ellipse n'est pas vide lorsque $u\Delta <0$ ou $w\Delta <0$ et qu'elle est imaginaire si l'un de ces nombres est positif.

Corollaire 6.4.7   Si $u, v, w$ ne sont pas tous nuls, le polynôme

$$u\ x_1^2+2v\ x_1x_2 + w\ x_2^2+2r\ x_1+2s\ x_2+t$$

est le produit de deux polynômes du premier degré, éventuellement à coefficients complexes, si et seulement si $\Delta=0$.

On dit que le lieu des points décrits en coordonnées par l'équation (30) quand $\Delta=0$ est une conique dégénérée. Quand il n'est pas vide et que $\Delta$ n'est pas nul, c'est une conique proprement dite; l'équation (30) en est alors une équation cartésienne comme on le vérifie facilement à partir des équations canoniques.

D'après le tableau (31) et le commentaire qui le suit, pour déterminer la nature du lieu des points dont les coordonnées sont les solutions d'une équation du second degré, il suffit d'évaluer le signe des nombres $\delta$ et $\Delta$, sans nécessairement procéder à la réduction à la forme canonique. Par exemple, l'équation

$$8x^2+12xy+3y^2-2x-2y-3=0$$

est celle d'une hyperbole (proprement dite) puisque $\delta=-12$ et $\Delta=37$.

Pour réduire l'équation à la forme canonique, on cherche à diagonaliser la matrice $A$ par une rotation des axes du repère, puis on translate si nécessaire l'origine du repère pour éliminer les termes du premier degré superflus. Si l'on ne souhaite pas spécialement un repère orthonormé, on peut plus directement compléter les carrés, comme illustré sur l'équation ci-dessus: on obtient par exemple

$$8x^2+12xy+3y^2-2x-2y-3 = 3[y^2+2(2x-\frac{1}{3})y]+8x^2-2x-3$$

$$= 3(y+2x-\frac{1}{3})^2-3(2x-\frac{1}{3})^2+8x^2-2x-3$$

$$= 3(y+2x-\frac{1}{3})^2-4x^2+2x-\frac{10}{3}$$

$$= 3(y+2x-\frac{1}{3})^2-(2x-\frac{1}{2})^2-\frac{37}{12}$$

$$= 3x'^2-y'^2-\frac{37}{12}$$

en posant

$$x' = y+2x-\frac{1}{3},$$

$$y' = 2x-\frac{1}{2}.$$

Cette manière de procéder consiste à collecter les termes en une des variables figurant au carré dans l'équation ($y$ dans l'exemple ci-dessus) et à les regarder comme les deux premiers termes d'un carré parfait. On complète celui-ci (comme dans la remarque a) plus haut), ce qui laisse des termes contenant uniquement la seconde variable. Si celle-ci figure au second degré, on lui applique le même traitement. Sinon, elle figure au plus au premier degré et la réduction est terminée. Si ni $x$ ni $y$ ne figurent au carré, il y a nécessairement un terme en $xy$. Comme

$$4\ xy=(x+y)^2-(x-y)^2$$

en posant $x'=x+y$ et $y'=x-y$, on fait apparaître des carrés avec lesquels on peut appliquer ensuite la méthode.