Avertissement

Les textes suivants sont des extraits de notes de cours, des exercices dirigés ou des réflexions sur des points spécifiques que j'ai trouvés amusants, intrigants ou délicats.
Vous pouvez y accéder en cliquant sur leur nom, écrit en blanc.
Ils sont mis à votre disposition pour usage personnel et sans garantie d'aucune sorte.
Je vous demande de ne pas les exploiter à des fins commerciales ou professionnelles sinon peut être dans le cadre de l'enseignement public où ils peuvent être utilisés à titre d'illustrations et, le cas échéant, en citant les sources.

Pierre Lecomte

Table des matières

Textes élémentaires
Textes de premier cycle
Textes de deuxième cycle
Textes de troisième cycle

Les textes

Les textes élémentaires (et certains textes de premier cycle) sont provisoirement indisponibles.

Textes de premier cycle

Equations isochrones et applications exponentielles
Une approche élémentaire de la notion d'application exponentielle d'une équation isochrone.

Théorèmes de Menelaus et de Ceva
Démonstrations des ces beaux résultats utilisant les coordonnées barycentriques et mettant en évidence, dans le cas du théorème de Ceva, les conditions nécessaires et suffisantes pour que les céviennes soient parallèles.

Parallélisme
Quelques réflexions sur le parallélisme dans les espaces affines. Ce texte complète et précise ce que je raconte sur la notion de direction des variétés affines ici, dans le cours de géométrie de première année.

Une étrange inégalité
Une méthode inhabituelle pour prouver une inégalité qui ne l'est pas moins

La règle de Horner
Une démontration amusante de cette règle bien connue.

Textes de deuxième cycle

Les systèmes de numération (Langages formels)
Equation différentielles d'ordre deux sur les variétés et connexions linéaires - Mars 2007
Ce texte a servi de support au cours Géométrie différentielle II en 2006/2007. On montre comment formaliser la notion d'équation différentielle ordinaire d'ordre 2 sur une variété différentielle. On étudie en particulier les propriétés de l'application exponentielle associée aux équations isochrones dont elle décrit les solutions. Très générale, cette notion d'exponentielle admet comme cas particuliers l'exponentielle des groupes de Lie, l'exponentielle de matrice, de nombre complexe ou réel et les applications affines. Elle débouche par ailleurs sur la notion de géodésique. On montre comment caractériser les équations d'ordre 2 en termes de distributions horizontales sur le fibré tangent, les équations isochrones correspondant aux connexions linéaires qu'on peut aussi décrire au moyen de dérivations covariantes. Une attention particulière est portée aux connexions dont la courbure est nulle.

Textes de troisième cycle

Les densités
Brève étude des fibrés de densités et de leurs espaces de sections. On explique en particulier comment la non naturalité des sections globales de poids non nul sans zéro conduit à la classe de cohomologie de la divergence.