Cartes

Une carte d'un ensemble $M$ est un couple $(U,\varphi)$ où $U$ est une partie de $M$ et $\varphi$ est une bijection de $U$ sur un ouvert de ${\rm I\!R}^m$. L'entier $m$ est la dimension de la carte. L'ensemble $U$ en est le domaine. Pour $x\in U$, on pose souvent $\varphi(x)=(x^1,\ldots,x^m)$ et on appelle les nombres $x^i$ les coordonnées locales de $x$ dans la carte $(U,\varphi)$.

Exemple 1.1.1   L'espace projectif ${\rm I\!R}^mP$.

L'espace projectif ${\rm I\!R}^mP$ est l'ensemble des droites vectorielles de ${\rm I\!R}^{m+1}$. Soit $i\in\{0,\ldots,m\}$. On obtient une carte de ${\rm I\!R}^mP$, $(U_i,\varphi_i)$, en posant $U_i=\{d\in{\rm I\!R}^mP:\epsilon^i\ _{\vert d}\neq 0\}$ et

$$\varphi_i({\rm I\!R}\xi)=(\frac{\xi^0}{\xi^i},\ldots\hat{i}\ldots,\frac{\xi^m}{\xi^i}).$$

L'ouvert $\varphi_i(U_i)$ est ${\rm I\!R}^m$ tout entier.

Exemple 1.1.2   Paramétrage d'une partie de ${\rm I\!R}^m$.

Si $(\omega,\psi)$ est un paramétrage d'un sous-ensemble de ${\rm I\!R}^m$, alors $(U=\psi(\omega),\varphi=\psi^{-1})$ est une carte de ce sous-ensemble.