1.3.1.0.4 L'espace projectif ${\rm I\!R}^3P$

Pour rappel, un quaternion unitaire $q$ induit une rotation $r_q:h\mapsto qh\overline{q}$ de l'espace ${\mathcal P}$ des quaternions purs (i.e. de partie réelle nulle), la base $i,j,k$ de ce dernier étant orthonormée et positive. De plus, la correspondance $q\mapsto r_q$ est un homomorphisme surjectif de $S^3=\{q\in{\rm I\!H}: \vert q\vert=1\}$ sur le groupe $SO({\mathcal P})$, dont le noyau est $\{-1,1\}$. Toute droite $d\in {\rm I\!R}^3 P$ coupant $S^3$ en deux points diamétralement opposés $\pm q$, montrer que l'application $d\mapsto r_q$ est un difféomorphisme de classe $C^\infty$.