1.3.1.0.1 L'espace projectif ${\rm I\!R}^1P$

Toute droite $d\in {\rm I\!R}^1P$ coupe le cercle $S^1=\{z\in{\rm I\!\!\!C}:\vert z\vert=1\}$ en deux points diamétralement opposés $\pm z$. Montrer que l'application $d\mapsto z^2$ est un difféomorphisme (de classe $C^\infty$) de ${\rm I\!R}^1P$ sur $S^1$.