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1.3.1.0.5 La grassmannienne des $ p$-plans de % latex2html id marker 10996 $ {\rm I\!R}^m$

L'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $ p$ de % latex2html id marker 11000 $ {\rm I\!R}^m$ (appelés aussi $ p$-plans de % latex2html id marker 11004 $ {\rm I\!R}^m$) est noté % latex2html id marker 11006 $ G^p_m({\rm I\!R})$.

Soit $ I\subset \{1,...,m\}$, $ \char93 I=p$. On désigne par $ I'$ le complémentaire de $ I$ et pour tout % latex2html id marker 11016 $ A\in {\rm I\!R}^m_p$, on note $ A^I$ la matrice formée en ne conservant dans $ A$ que les lignes dont les indices sont dans $ I$. Pour % latex2html id marker 11024 $ B\in{\rm I\!R}^p_m$, $ B_I$ s'obtient en conservant les colonnes de $ B$ dont les numéros sont dans $ I$.

a)Disposés en colonne, les éléments d'une base de % latex2html id marker 11032 $ \alpha\in G^p_m({\rm I\!R})$ forment une matrice % latex2html id marker 11034 $ \xi=({\bf u}_1,...,{\bf u}_p)\in{\rm I\!R}^m_p$, de rang $ p$. On peut choisir $ I$ pour que $ \xi^I$ soit non singulier. On pose alors

$\displaystyle \varphi^I(\alpha)=\xi^{I'}(\xi^I)^{-1}. $

Montrer que $ \varphi^I(\alpha)$ ne dépend que de $ \alpha$, que $ \varphi^I$ est une bijection de l'ensemble $ U^I$ des $ p$-plans supplémentaires de % latex2html id marker 11054 $ {\rm I\!R}^{I'}=\{x\in{\rm I\!R}^m\vert x^i=0,\forall i\in I\}$ sur % latex2html id marker 11056 $ {\rm I\!R}^{m-p}_p$ et que les cartes $ (U^I,\varphi^I)$ de % latex2html id marker 11060 $ G^p_m({\rm I\!R})$ sont compatibles.


Ces cartes définissent ainsi un atlas de % latex2html id marker 11062 $ G^p_m({\rm I\!R})$. Muni de la structure de variété correspondante, % latex2html id marker 11064 $ G^p_m({\rm I\!R})$ s'appelle la variété grassmannienne des $ p$-plans de % latex2html id marker 11068 $ {\rm I\!R}^m$.


b)Un sous-espace $ \alpha$ peut aussi être décrit par des équations cartésiennes: il est l'ensemble des solutions d'un système d'équations % latex2html id marker 11072 $ \Xi{\bf x}={\bf0}$, où % latex2html id marker 11074 $ \Xi\in{\rm I\!R}^m_{m-p}$ est de rang $ m-p$. La matrice $ \Xi_J$ est donc non singulière pour un certain $ J, \char93 J=m-p$. On pose alors

$\displaystyle \varphi_J(\alpha)=\Xi_J^{-1}\Xi_{J'}. $

Montrer que $ \varphi_J(\alpha)$ est indépendant des équations cartésiennes choisies, que $ (U_J,\varphi_J)$ est une carte de % latex2html id marker 11088 $ G^p_m({\rm I\!R})$, où $ U_J=U^{J'}$, et que les cartes ainsi obtenues sont compatibles entre elles.


c) Montrer que les cartes $ (U^I,\varphi^I)$ et $ (U_J,\varphi_J)$ sont toujours compatibles. [Suggestion: vérifier d'abord que $ \varphi_{I'}\circ(\varphi^I)^{-1}:A\mapsto -A.$]


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2003-11-02