1.3.1.0.5 La grassmannienne des $p$-plans de ${\rm I\!R}^m$

L'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $p$ de ${\rm I\!R}^m$ (appelés aussi $p$-plans de ${\rm I\!R}^m$) est noté $G^p_m({\rm I\!R})$.

Soit $I\subset \{1,...,m\}$, $\char93 I=p$. On désigne par $I'$ le complémentaire de $I$ et pour tout $A\in {\rm I\!R}^m_p$, on note $A^I$ la matrice formée en ne conservant dans $A$ que les lignes dont les indices sont dans $I$. Pour $B\in{\rm I\!R}^p_m$, $B_I$ s'obtient en conservant les colonnes de $B$ dont les numéros sont dans $I$.

a)Disposés en colonne, les éléments d'une base de $\alpha\in G^p_m({\rm I\!R})$ forment une matrice $\xi=({\bf u}_1,...,{\bf u}_p)\in{\rm I\!R}^m_p$, de rang $p$. On peut choisir $I$ pour que $\xi^I$ soit non singulier. On pose alors

$$\varphi^I(\alpha)=\xi^{I'}(\xi^I)^{-1}.$$

Montrer que $\varphi^I(\alpha)$ ne dépend que de $\alpha$, que $\varphi^I$ est une bijection de l'ensemble $U^I$ des $p$-plans supplémentaires de ${\rm I\!R}^{I'}=\{x\in{\rm I\!R}^m\vert x^i=0,\forall i\in I\}$ sur ${\rm I\!R}^{m-p}_p$ et que les cartes $(U^I,\varphi^I)$ de $G^p_m({\rm I\!R})$ sont compatibles.

Ces cartes définissent ainsi un atlas de $G^p_m({\rm I\!R})$. Muni de la structure de variété correspondante, $G^p_m({\rm I\!R})$ s'appelle la variété grassmannienne des $p$-plans de ${\rm I\!R}^m$.

b)Un sous-espace $\alpha$ peut aussi être décrit par des équations cartésiennes: il est l'ensemble des solutions d'un système d'équations $\Xi{\bf x}={\bf0}$, où $\Xi\in{\rm I\!R}^m_{m-p}$ est de rang $m-p$. La matrice $\Xi_J$ est donc non singulière pour un certain $J, \char93 J=m-p$. On pose alors

$$\varphi_J(\alpha)=\Xi_J^{-1}\Xi_{J'}.$$

Montrer que $\varphi_J(\alpha)$ est indépendant des équations cartésiennes choisies, que $(U_J,\varphi_J)$ est une carte de $G^p_m({\rm I\!R})$, où $U_J=U^{J'}$, et que les cartes ainsi obtenues sont compatibles entre elles.

c) Montrer que les cartes $(U^I,\varphi^I)$ et $(U_J,\varphi_J)$ sont toujours compatibles. [Suggestion: vérifier d'abord que $\varphi_{I'}\circ(\varphi^I)^{-1}:A\mapsto -A.$]