6.1.5.1 Première forme fondamentale & symboles de Christoffel

En numérotant $(u_1,u_2)=(u,v)$ les paramètres, nous obtenons immédiatement les composantes de la première forme fondamentale dans la base $(\partial_u\varphi,\partial_v\varphi)$.

$$% latex2html id marker 20406\left( \begin{array}{cc} g_{11... ...\left( \begin{array}{cc} r^2&0\\ 0&1+r'^2 \end{array}\right)$$

Pour le calcul des symboles $\Gamma^k_{ij}$, on utilise la première équation de structure:

$$\sum_\ell g_{k\ell}\Gamma^\ell_{ij}=\frac 1 2 (\partial_ig_{kj}+\partial_jg_{ki}-\partial_kg_{ij})$$

En prenant d'abord $k=1$, il vient

$$\Gamma^1_{11}=\Gamma^1_{22}=0,\ \Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{21}=\frac{r'}{r}$$

Avec $k=2$, ceci se complète en

$$\Gamma^2_{11}=-\frac{rr'}{1+r'^2}, \ \Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=0, \ \Gamma^2_{22}=\frac{r'r''}{1+r'^2}$$