6.1.5.5 Les cylindres circulaires droits

Dans le cas d'un cylindre circulaire droit, tous les parallèles sont donc des géodésiques puisque $r$ est constant. Les méridiens sont les génératrices du cylindre. Les autres géodésiques sont faciles à trouver. En effet, les équations (15) deviennent alors $u''=0,v''=0$. Elles donnent immédiatement $u=at+b$ et $v=ct+d$, où $a,b,c$ et $d$ sont constants. Ainsi, les géodésiques du cylindre sont, outre les génératrices, les hélices circulaires droites qui sont tracées dessus. Si, par la pensée, on fait rouler sans glissement, le cylindre sur un de ses plans tangents, une telle hélice se déplie selon une droite de ce plan. Réciproquement, une droite non verticale du plan s'enroule en une géodésique du cylindre.

On s'apercoit que par deux points $A$ et $B$ non situés sur un même parallèle, il passe une infinité de géodésiques du cylindre. Si on note $B=B_1$, $B_2$, ... les points du plan tangent en $A$ au cylindre que l'on obtient en le faisant rouler sur ce plan, ces géodésiques se déplient sur les droites $AB_1$, $AB_2$, ...