6.1.5.2 Equation des géodésiques

Une courbe

$$t\in J=]p,q[\mapsto\gamma(u(t),v(t))\in\Sigma$$

est une géodésique de $\Sigma$ si et seulement si $(u(t),v(t))$ vérifie les équations

$$\left\{ \begin{array}{lll} u''+\frac... ...\\ v''-\frac{rr'}{1+r'^2}u'^2+\frac{r'r''}{1+r'^2}v'^2&=&0 \end{array} \right.$$ (6.4)

dans lesquelles $r,r'$ et $r''$ sont calculés en $v(t)$.

On sait que le paramètre d'une géodésique est un multiple de la longueur d'arc. Pour les géodésiques qui ne sont pas réduites à un point, on peut donc supposer que c'est une abscisse curviligne. Cela impose la condition supplémentaire $\vert\gamma'\vert=1$, qui se traduit par

$$r^2u'^2+(1+r'^2)v'^2=1$$ (6.5)