5.2.2.1 Algèbres de Lie

Un espace vectoriel $L$ muni d'une application bilinéaire antisymétrique $(x,y)\mapsto [x,y]$ vérifiant l'identité de Jacobi

$$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0,\ \forall x,y,z\in L,$$

est une algèbre de Lie. Le commutateur de matrices vérifie cette identité. L'espace vectoriel ${\mathcal G}$ est donc une algèbre de Lie. C'est l'algèbre de Lie du groupe $G$.

La correspondance entre un groupe et son algèbre de lie est extrêmement riche de propriétés. Son étude sort du cadre du présent texte. Disons simplement, en gros, qu'un groupe est déterminé au moins au voisinage de l'élément neutre par son algèbre de Lie et que toutes les algèbres de Lie de dimension finie sont (isomorphes à) des algèbres de Lie de groupes.

Le crochet de Lie $[ \ ,\ ]$ d'une algèbre de lie $L$ de dimension finie $r$ est caractérisé par ses valeurs sur les éléments d'une base $(e_1,\ldots,e_r)$ de $L$, c'est-à-dire par les nombres $c^k_{ij}$, appelés constantes de structure, exprimant $[e_i,e_j]$ selon cette base:

$$[e_i,e_j]=\sum_k c^k_{ij}e_k.$$

Si tous les crochets de Lie sont nuls, l'algèbre est dite commutative ou abélienne. C'est évidemment le cas des algèbres de Lie de dimension $1$, à cause de l'antisymétrie du crochet de Lie.