5.2.2.3 L'algèbre de Lie de Heisenberg $H_n$

L'algèbre de Lie de Heisenberg $H_n$ est de dimension $2n+1$ et admet une base $(p_1,\dots,p_n,z,q_1,\ldots,q_n)$ dans laquelle le crochet de Lie est caractérisé par le fait que le crochet de Lie $[z,.]$ par $z$ est nul et par

$$[p_i,p_j]=0,\ [p_i,q_j]=\delta_{ij}z, \ [q_i,q_j]=0.$$

Si on représente par $P_if$ la dérivée de $f\in C^\infty({\rm I\!R}^n)$ par rapport à la variable $x^i$, par $Q_j$ le produit $x^jf$ et par $Z$ l'indentité de $C^\infty({\rm I\!R}^n)$ dans lui-même, alors, dans l'ensemble des applications linéaires de cet espace dans lui-même, les commutateurs de ces applications linéaires vérifient les mêmes relations que la base de $H_n$ ci-dessus.

Le lecteur vérifiera à titre d'exercice que l'algèbre de Lie du groupe des matrices

$$% latex2html id marker 19293\left ( \begin{array}{ccc} 1&u&v\\ 0&1&w\\ 0&0&1 \end{array}\right), u,v,w\in {\rm I\!R},$$

est isomorphe à l'algèbre $H_1$.