5.2.2.4 Opérateurs différentiels homogènes d'ordre $1$

Les applications linéaires de $C^\infty({\rm I\!R}^n)$ dans lui-même de la forme

$$X=\sum_if^i\partial_i,$$

où $f^1,\ldots,f^n\in C^\infty({\rm I\!R}^n)$, constituent une algèbre de Lie pour le commutateur des applications linéaires. Elle est de dimension infinie. Il en va de même si on exige que les $f^i$ soient des polynômes.

A titre d'exercice, le lecteur vérifiera que pour le même crochet de Lie, les sous-espaces vectoriels

$$\rangle\partial_i, x^j\partial_i\vert i, j=1,\ldots,n\langle$$

et

$$\rangle\partial_i,x^j\partial_i,x^j\sum_{k=1}^nx^k\partial_k\vert i, j=1,\ldots,n\langle$$

sont aussi des algèbres de Lie, respectivement isomorphes à $aff(n,{\rm I\!R})$ et $sl(n+1,{\rm I\!R})$.